Dati due insiemi, si possono stabilire più tipi di corrispondenza e relazioni tra di essi o, meglio, tra gli elementi del primo insieme e quelli del secondo insieme.
Vi possono essere due classificazioni: quella relativa all'algebra degli insiemi (che in questa sede scarteremo perché ha poca efficacia visiva) e quella degli insiemi di coppie che, utilizzando il diagramma di Eulero-Wenn, fornisce anche una rappresentazione visiva.
Classificazione delle relazioni tra due insiemi in base all'insieme delle coppie
...... In attesa di completare il post, vedi anche un post precedente.
Esempi di gruppi in Aritmetica
Richiamo - Un insieme di elementi, ed una operazione binaria, è un gruppo se soddisfa gli assiomi dei gruppi (cioè quello dell'associatività, quello dell'identità e quello dell'opposto). Pertanto, attribuire la caratteristica di gruppo significa verificare se sono soddisfatti i tre assiomi dei gruppi.
Riepilogo della nomenclatura
- Gruppo: G -
- Insieme di elementi: U -
- Elementi: u -
- Operazione binaria: r -
- Elemento identità: I -
- Elemento inverso dell'elemento u: inv.u -
Esempio 1
Ipotesi su quello che per il momento chiameremmo Gruppo A - Se prendiamo
Insieme degli elementi U: tutti gli interi (positivi, negativi e zero), indicati con u;
Operazione binaria r: addizione;
siamo in presenza di un gruppo?
Procediamo.
Verifica dell'assioma dell'associatività: l'addizione tra numeri interi è facilmente verificabile che è associativa.
Verifica dell'assioma dell'identità: notiamo che l'insieme degli elementi U contiene anche lo zero che, per l'operazione di addizione, costituisce l'elemento identità (I).
Infatti per ogni elemento u dell'insieme si ha: u + 0 = 0 + u = u, cioè l'operazione fa rimanere invariato l'elemento u di partenza.
Verifica dell'assioma dell'inverso: dalla verifica dell'assioma precedente abbiamo visto che l'elemento identità è lo 0. Se l'elemento u è un numero intero, il suo inverso inv.u, relativamente all'operazione di addizione, sarà quell'elemento dell'insieme che, mediante l'operazione di addizione, porta all'elemento identità, cioè allo 0.
In questo caso si tratta dell'elemento -u (che abbiamo detto appartenere all'insieme in quanto sono compresi anche i numeri negativi), infatti verifichiamo che u + (-u) = (-u) + u = 0, e con un esempio numerico prendendo u=5 si ha inv.u=-5, quindi: 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0.
Conclusione
La verifica dei tre assiomi ha dimostrato che il Gruppo A è effettivamente un gruppo che possiamo chiamare "addizione tra numeri interi".
Esempio 2
Ipotesi su quello che per il momento chiameremmo Gruppo B - Se prendiamo
Insieme degli elementi U: tutti gli interi (positivi, negativi e zero), indicati con u;
Operazione binaria r: moltiplicazione;
siamo in presenza di un gruppo?
Procediamo.
Verifica dell'assioma dell'associatività: la moltiplicazione tra numeri interi è facilmente verificabile che è associativa, in quanto fornisce numeri u anch'essi interi e, quindi, appartenenti all'insieme U come definito sopra.
Verifica dell'assioma dell'identità: ... (si lascia la verifica al lettore).
Verifica dell'assioma dell'inverso: ... (si lascia la verifica al lettore).
Conclusione:
... (si lascia la conclusione al lettore).
Osservazione - Occorre distinguere sull'uso della parola "inverso". In aritmetica è anche sinonimo di "reciproco" ed è usato in senso specifico nella moltiplicazione, p. es. il numero 3 e il numero 1/3 sono reciproci poichè la loro moltiplicazione fornisce 1.
Nell'ambito della Teoria dei gruppi, invece, ha un senso più ampio, e significa un elemento inv.u che, con un altro elemento u, assoggettati entrambi ad una operazione r, produce l'elemento identità I che, a sua volta, assoggettato alla medesima operazione r è in grado di fornire come risultato l'elemento di partenza u cioè, con notazione sintetica, (inv.u r u) r u = u cioè I r u = u.
Se prendiamo l'insieme dei numeri razionali abbiamo due risultati diversi a seconda che l'operazione r del gruppo sia l'addizione o la moltiplicazione.
Ad esempio, con l'addizione si ha: (inv.5 + 5) + 5 = 5, cioè (-5 + 5) + 5 = 5, quindi, inv.5 = -5 (infatti I = 0);
mentre con la moltiplicazione si ha: (inv.5 x 5) x 5 = 5, cioè (1/5 x 5) x 5 = 5, quindi, inv.5 = 1/5 (infatti I = 1).
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Nota - Gli esempi sono stati tratti da: Grossman Israel e Magnus Wilhelm, I gruppi e i loro grafi, Zanichelli 1969, pag. 24 (edizione originale inglese: 1964).
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Riepilogo della nomenclatura
- Gruppo: G -
- Insieme di elementi: U -
- Elementi: u -
- Operazione binaria: r -
- Elemento identità: I -
- Elemento inverso dell'elemento u: inv.u -
Esempio 1
Ipotesi su quello che per il momento chiameremmo Gruppo A - Se prendiamo
Insieme degli elementi U: tutti gli interi (positivi, negativi e zero), indicati con u;
Operazione binaria r: addizione;
siamo in presenza di un gruppo?
Procediamo.
Verifica dell'assioma dell'associatività: l'addizione tra numeri interi è facilmente verificabile che è associativa.
Verifica dell'assioma dell'identità: notiamo che l'insieme degli elementi U contiene anche lo zero che, per l'operazione di addizione, costituisce l'elemento identità (I).
Infatti per ogni elemento u dell'insieme si ha: u + 0 = 0 + u = u, cioè l'operazione fa rimanere invariato l'elemento u di partenza.
Verifica dell'assioma dell'inverso: dalla verifica dell'assioma precedente abbiamo visto che l'elemento identità è lo 0. Se l'elemento u è un numero intero, il suo inverso inv.u, relativamente all'operazione di addizione, sarà quell'elemento dell'insieme che, mediante l'operazione di addizione, porta all'elemento identità, cioè allo 0.
In questo caso si tratta dell'elemento -u (che abbiamo detto appartenere all'insieme in quanto sono compresi anche i numeri negativi), infatti verifichiamo che u + (-u) = (-u) + u = 0, e con un esempio numerico prendendo u=5 si ha inv.u=-5, quindi: 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0.
Conclusione
La verifica dei tre assiomi ha dimostrato che il Gruppo A è effettivamente un gruppo che possiamo chiamare "addizione tra numeri interi".
Esempio 2
Ipotesi su quello che per il momento chiameremmo Gruppo B - Se prendiamo
Insieme degli elementi U: tutti gli interi (positivi, negativi e zero), indicati con u;
Operazione binaria r: moltiplicazione;
siamo in presenza di un gruppo?
Procediamo.
Verifica dell'assioma dell'associatività: la moltiplicazione tra numeri interi è facilmente verificabile che è associativa, in quanto fornisce numeri u anch'essi interi e, quindi, appartenenti all'insieme U come definito sopra.
Verifica dell'assioma dell'identità: ... (si lascia la verifica al lettore).
Verifica dell'assioma dell'inverso: ... (si lascia la verifica al lettore).
Conclusione:
... (si lascia la conclusione al lettore).
Osservazione - Occorre distinguere sull'uso della parola "inverso". In aritmetica è anche sinonimo di "reciproco" ed è usato in senso specifico nella moltiplicazione, p. es. il numero 3 e il numero 1/3 sono reciproci poichè la loro moltiplicazione fornisce 1.
Nell'ambito della Teoria dei gruppi, invece, ha un senso più ampio, e significa un elemento inv.u che, con un altro elemento u, assoggettati entrambi ad una operazione r, produce l'elemento identità I che, a sua volta, assoggettato alla medesima operazione r è in grado di fornire come risultato l'elemento di partenza u cioè, con notazione sintetica, (inv.u r u) r u = u cioè I r u = u.
Se prendiamo l'insieme dei numeri razionali abbiamo due risultati diversi a seconda che l'operazione r del gruppo sia l'addizione o la moltiplicazione.
Ad esempio, con l'addizione si ha: (inv.5 + 5) + 5 = 5, cioè (-5 + 5) + 5 = 5, quindi, inv.5 = -5 (infatti I = 0);
mentre con la moltiplicazione si ha: (inv.5 x 5) x 5 = 5, cioè (1/5 x 5) x 5 = 5, quindi, inv.5 = 1/5 (infatti I = 1).
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Nota - Gli esempi sono stati tratti da: Grossman Israel e Magnus Wilhelm, I gruppi e i loro grafi, Zanichelli 1969, pag. 24 (edizione originale inglese: 1964).
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Concetto di "continuo" o "continuità"
Riprendo da un blog su web (http://www.nazioneindiana.com/).
(...)
Mi andrebbe di parlare ancora un po’ del continuo, questo mistero misterioso. Ma a te al liceo non hanno menzionato una volta una cosa assolutamente incomprensibile che si chiamava ‘postulato di continuità della retta’? Una bizzarria da fuori di testa, sembrava. E infatti, io l’ho capita solo molto dopo.
A me il continuo evoca la marmellata, non quella con tutti i toccotti di frutta dentro (che tra l’altro molto preferisco), ma quella gelatinosa che sembra appunto completamente omogenea. Omogenea. Continuo deriva da cum-tineo, che si tiene assieme, una pappa nella quale non si può distinguere nessuna spaccatura, nessun confine, dato un punto non si può dire qual è il punto che viene subito dopo, perché appena ne dici uno, ce n’è un’altro più vicino ancora, eccetera.
Adesso uno può dire che lo sappiamo ormai da un secolo (per non parlare di Democrito e seguaci) che la materia ha una struttura atomica, è fatta di piccoli puntini di materia e di enormi vuoti tra essi, e quindi niente intuizioni marmellatose; ma l’intuizione che tutti quanti abbiamo si forma nei primi anni di vita su esperienze elementari e, siccome la nostra vista non è sensibile agli atomi, di fronte e una bella superficie, tipo di vetro o di ossidiana, o tipo la setosa superficie di una tazza di tè verde ben ossigenato, vediamo una bel ché compatto e omogeneo, senza buchi. E pertanto pretenderemmo che così veramente fosse, veramente, anche nel piccolo, e comunque ci formiamo l’idea del continuo, del senza buchi, neanche piccoli piccoli.
La matematica è arrivata bel bello a saziare questa sete di continuità e, nell’ultimo quarto dell’Ottocento, ha offerto (è stato soprattutto Richard Dedekind, 1872, a formulare l'assioma della continuità) una maniera di dire che cos’è il continuo, dopodiché ha proposto di dichiarare (ecco qui il summenzionato ‘postulato di continuità della retta’) che la retta è, appunto continua, cioè ha la stessa struttura di quella che la matematica aveva inventato per far posto, nell’insieme dei numeri, a tutti i numeri, anche quelli che non sappiamo bene cosa siano.
Ad esempio, il simbolo che tradizionalmente indica la radice quadrata di due [radice di due non è rappresentabile nel testo del blog, me ne scuso. Dario Voltolini]: simbolo e parole che vogliono dire cosa, esattamente? Nessun numero decimale finito, e neanche periodico, elevato al quadrato fa esattamente 2. I matematici la hanno fatta esistere (e come la radice di due una quantità di altri innumerevoli numeri decimali non periodici) con la forza bruta, cioè con una decisione della ragione, con un atto creativo. E questo fa parte naturalmente dell’esigenza di non lasciare buchi nell’insieme dei numeri. L’orrore del buco, dell’interruzione, come l’orrore del vuoto.
Insomma, il problema è che per dire dove sta un atomo del nostro gas, devo dire le sue coordinate, e, fino a convenzione contraria, ho a disposizione una spaventosa infinità di numeri per rappresentare le sue coordinate. Quant’è la sua coordinata (mettiamo la sua distanza dalla parete A)? E’ forse cm 5,25 oppure 5,255 , o 5,2552340994 , o quale altro numero è? Di misurarla con infinita precisione, ovviamente non c’è neanche da pensarlo vagamente, ma se ritengo che, almeno in linea di principio, essa sia un numero reale ben fissato, allora ce ne sono infinitamente tanti tanti, perché di numeri reali ce ne sono realmente tanti tanti.
(...)
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Mi andrebbe di parlare ancora un po’ del continuo, questo mistero misterioso. Ma a te al liceo non hanno menzionato una volta una cosa assolutamente incomprensibile che si chiamava ‘postulato di continuità della retta’? Una bizzarria da fuori di testa, sembrava. E infatti, io l’ho capita solo molto dopo.
A me il continuo evoca la marmellata, non quella con tutti i toccotti di frutta dentro (che tra l’altro molto preferisco), ma quella gelatinosa che sembra appunto completamente omogenea. Omogenea. Continuo deriva da cum-tineo, che si tiene assieme, una pappa nella quale non si può distinguere nessuna spaccatura, nessun confine, dato un punto non si può dire qual è il punto che viene subito dopo, perché appena ne dici uno, ce n’è un’altro più vicino ancora, eccetera.
Adesso uno può dire che lo sappiamo ormai da un secolo (per non parlare di Democrito e seguaci) che la materia ha una struttura atomica, è fatta di piccoli puntini di materia e di enormi vuoti tra essi, e quindi niente intuizioni marmellatose; ma l’intuizione che tutti quanti abbiamo si forma nei primi anni di vita su esperienze elementari e, siccome la nostra vista non è sensibile agli atomi, di fronte e una bella superficie, tipo di vetro o di ossidiana, o tipo la setosa superficie di una tazza di tè verde ben ossigenato, vediamo una bel ché compatto e omogeneo, senza buchi. E pertanto pretenderemmo che così veramente fosse, veramente, anche nel piccolo, e comunque ci formiamo l’idea del continuo, del senza buchi, neanche piccoli piccoli.
La matematica è arrivata bel bello a saziare questa sete di continuità e, nell’ultimo quarto dell’Ottocento, ha offerto (è stato soprattutto Richard Dedekind, 1872, a formulare l'assioma della continuità) una maniera di dire che cos’è il continuo, dopodiché ha proposto di dichiarare (ecco qui il summenzionato ‘postulato di continuità della retta’) che la retta è, appunto continua, cioè ha la stessa struttura di quella che la matematica aveva inventato per far posto, nell’insieme dei numeri, a tutti i numeri, anche quelli che non sappiamo bene cosa siano.
Ad esempio, il simbolo che tradizionalmente indica la radice quadrata di due [radice di due non è rappresentabile nel testo del blog, me ne scuso. Dario Voltolini]: simbolo e parole che vogliono dire cosa, esattamente? Nessun numero decimale finito, e neanche periodico, elevato al quadrato fa esattamente 2. I matematici la hanno fatta esistere (e come la radice di due una quantità di altri innumerevoli numeri decimali non periodici) con la forza bruta, cioè con una decisione della ragione, con un atto creativo. E questo fa parte naturalmente dell’esigenza di non lasciare buchi nell’insieme dei numeri. L’orrore del buco, dell’interruzione, come l’orrore del vuoto.
Insomma, il problema è che per dire dove sta un atomo del nostro gas, devo dire le sue coordinate, e, fino a convenzione contraria, ho a disposizione una spaventosa infinità di numeri per rappresentare le sue coordinate. Quant’è la sua coordinata (mettiamo la sua distanza dalla parete A)? E’ forse cm 5,25 oppure 5,255 , o 5,2552340994 , o quale altro numero è? Di misurarla con infinita precisione, ovviamente non c’è neanche da pensarlo vagamente, ma se ritengo che, almeno in linea di principio, essa sia un numero reale ben fissato, allora ce ne sono infinitamente tanti tanti, perché di numeri reali ce ne sono realmente tanti tanti.
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Concetto di "corrispondenza biunivoca"
Una trasformazione si dice univoca quando da un elemento appartenente ad una classe si può trovare uno ed un solo elemento corrispondente nella seconda classe.
Ad esempio: nella classe dei "figli", ad ogni determinato ragazzo si può far corrispondere un determinato papà nella classe dei "padri", mentre non vale il contrario.
La trasformazione si dice biunivoca quando ad ogni elemento della prima classe corrisponde uno ed un solo elemento della seconda classe e viceversa.
Ad esempio: conoscendo un elemento appartenente alla classe dei "mariti" si può trovare il corrispondente elemento nella classe delle "mogli" e, viceversa, se si conosce la moglie si può risalire al marito di quella signora (sempre che si stia parlando di una società monogama).
La trasformazione di cui all'inizio, invece, non è biunivoca, in quanto, preso un elemento della seconda classe, quella dei "padri" potrebbe non corrispondere un solo elemento nella classe dei "figli", ma più di uno, per il fatto che potrebbero esserci dei fratelli, figli dello stesso padre. Infatti se si dice ad un ragazzo "tuo padre è andato al mare" non sorgono dubbi, mentre se si dice ad un padre che ha quattro figli "tuo figlio è andato al mare", quel povero padre non sa verso chi rivolgere la sua attenzione.
Nel considerare le caratteristiche delle figure e le loro trasformazioni nel piano ci si è accorti che ad un punto ben definito della figura iniziale corrisponde, dopo una ben definita trasformazione, un punto altrettanto ben definito della figura trasformata e, viceversa, se considero un punto della figura finale posso sempre risalire al punto iniziale.
Questa corrispondenza vale anche per punti che non si trovano sulla figura ma che si trovano all'esterno di essa. Così, se prendo un punto sul piano, ad esempio, distante cm 5 in una certa posizione esterna al perimetro della figura, dopo la trasformazione troverò il suo corrispondente. Questa considerazione, ovviamente, posso applicarla a tutti i punti del piano e, mediante una certa trasformazione, posso individuare i punti che corrispondono a quelli.
Sul piano si viene a stabilire, quindi, una corrispondenza tra punti che ha come "legge" una ben definita trasformazione: ad esempio, posso mettere in corrispondenza tutti i punti del piano (chiamandoli punti appartenenti alla classe A) con quelli che distano da essi di cm 5 in direzione da nord verso sud, (chiamandoli punti appartenenti alla classe B), e ciò anche se materialmente non disegno una figura su quel piano. Ma posso anche eseguire la trasformazione inversa: basta che ad ogni punto faccio corrispondere un punto che si trovi a cm 5 di distanza nella direzione da sud a nord.
Questa circostanza, che posso eseguire trasformazioni in un verso e anche nel verso opposto ritrovando i punti iniziali, e solo quelli, si esprime dicendo che sul piano ho stabilito una corrispondenza biunivoca: nell'esempio essa consiste nella "traslazione dei punti di un piano di cm 5 in direzione da nord a sud".
In pratica, è come se su un tavolo ponessi due fogli: su un foglio (che chiamo classe A) disegno una figura blu che ricalco sul foglio sovrapposto con penna rossa (che chiamo classe B), poi sposto il secondo foglio nel modo dovuto. Se il secondo foglio fosse trasparente, allora non mi accorgerei di avere due fogli distinti, e potrei considerare ciò che vedo come disegnato su un unico foglio, cioè come se sullo stesso piano ci fosse la figura di classe A e la figura di classe B.
Ovviamente, il concetto di corrispondenza biunivoca non vale solo per la traslazione ma vale anche per le altre trasformazioni come la rotazione, la similitudine, l'affinità, ecc..
Per quanto riguarda l'identità il discorso è analogo, solo che i punti della figura iniziale e quelli della figura trasformata coincidono: è quanto accade, ad esempio, quando, una volta fatto un disegno a matita, ci proponiamo di ripassarlo a penna, disegnando due figure esattamente sovrapposte.
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Ad esempio: nella classe dei "figli", ad ogni determinato ragazzo si può far corrispondere un determinato papà nella classe dei "padri", mentre non vale il contrario.
La trasformazione si dice biunivoca quando ad ogni elemento della prima classe corrisponde uno ed un solo elemento della seconda classe e viceversa.
Ad esempio: conoscendo un elemento appartenente alla classe dei "mariti" si può trovare il corrispondente elemento nella classe delle "mogli" e, viceversa, se si conosce la moglie si può risalire al marito di quella signora (sempre che si stia parlando di una società monogama).
La trasformazione di cui all'inizio, invece, non è biunivoca, in quanto, preso un elemento della seconda classe, quella dei "padri" potrebbe non corrispondere un solo elemento nella classe dei "figli", ma più di uno, per il fatto che potrebbero esserci dei fratelli, figli dello stesso padre. Infatti se si dice ad un ragazzo "tuo padre è andato al mare" non sorgono dubbi, mentre se si dice ad un padre che ha quattro figli "tuo figlio è andato al mare", quel povero padre non sa verso chi rivolgere la sua attenzione.
Nel considerare le caratteristiche delle figure e le loro trasformazioni nel piano ci si è accorti che ad un punto ben definito della figura iniziale corrisponde, dopo una ben definita trasformazione, un punto altrettanto ben definito della figura trasformata e, viceversa, se considero un punto della figura finale posso sempre risalire al punto iniziale.
Questa corrispondenza vale anche per punti che non si trovano sulla figura ma che si trovano all'esterno di essa. Così, se prendo un punto sul piano, ad esempio, distante cm 5 in una certa posizione esterna al perimetro della figura, dopo la trasformazione troverò il suo corrispondente. Questa considerazione, ovviamente, posso applicarla a tutti i punti del piano e, mediante una certa trasformazione, posso individuare i punti che corrispondono a quelli.
Sul piano si viene a stabilire, quindi, una corrispondenza tra punti che ha come "legge" una ben definita trasformazione: ad esempio, posso mettere in corrispondenza tutti i punti del piano (chiamandoli punti appartenenti alla classe A) con quelli che distano da essi di cm 5 in direzione da nord verso sud, (chiamandoli punti appartenenti alla classe B), e ciò anche se materialmente non disegno una figura su quel piano. Ma posso anche eseguire la trasformazione inversa: basta che ad ogni punto faccio corrispondere un punto che si trovi a cm 5 di distanza nella direzione da sud a nord.
Questa circostanza, che posso eseguire trasformazioni in un verso e anche nel verso opposto ritrovando i punti iniziali, e solo quelli, si esprime dicendo che sul piano ho stabilito una corrispondenza biunivoca: nell'esempio essa consiste nella "traslazione dei punti di un piano di cm 5 in direzione da nord a sud".
In pratica, è come se su un tavolo ponessi due fogli: su un foglio (che chiamo classe A) disegno una figura blu che ricalco sul foglio sovrapposto con penna rossa (che chiamo classe B), poi sposto il secondo foglio nel modo dovuto. Se il secondo foglio fosse trasparente, allora non mi accorgerei di avere due fogli distinti, e potrei considerare ciò che vedo come disegnato su un unico foglio, cioè come se sullo stesso piano ci fosse la figura di classe A e la figura di classe B.
Ovviamente, il concetto di corrispondenza biunivoca non vale solo per la traslazione ma vale anche per le altre trasformazioni come la rotazione, la similitudine, l'affinità, ecc..
Per quanto riguarda l'identità il discorso è analogo, solo che i punti della figura iniziale e quelli della figura trasformata coincidono: è quanto accade, ad esempio, quando, una volta fatto un disegno a matita, ci proponiamo di ripassarlo a penna, disegnando due figure esattamente sovrapposte.
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Due precisazioni sulle trasformazioni geometriche
Precisazione 1, sulla differenza tra pensiero geometrico e disegno geometrico
Occorre precisare che il significato linguistico della parola "trasformazione" non è adeguata nell’ambito della geometria, dove per figura geometrica si intendono due circostanze:
a) da una parte per figura geometrica si intende un insieme di enti geometrici comunque disposti come, ad esempio, un quadrato su un piano, oppure una piramide nello spazio, ecc., secondo come noi li concepiamo con il pensiero, per cui i suoi elementi hanno caratteristiche ideali. Ad esempio, il lato di un quadrato, pur avendo una lunghezza determinata, non ha spessore essendo costituito da una parte di retta detta segmento, e così il vertice della piramide non è un volume in forma di pallino per quanto piccolo ma, essendo un punto, non ha dimensione alcuna.
b) dall’altra parte per figura geometrica si intende quella che noi disegniamo su un foglio da disegno per aiutarci visivamente e, questa, in base a quanto detto sopra, non può essere accurata più di tanto, nonostante l’attenzione che potremmo prestare nell’esecuzione del disegno.
Carlo Felice Manara ripeteva spesso nelle sue lezioni che “la geometria è l’arte di ragionare bene sulle figure sbagliate” volendo significare che la figura che tracciamo su un foglio non può che essere approssimativa e che deve servirci solo per aiutare il pensiero con lo sguardo.
Precisazione 2, sulla assenza del tempo come fattore nella geometria
Nel concepire con il pensiero una figura, non necessariamente le sue parti hanno una successione temporale, poiché potremmo pensare che esista da sempre sul piano del foglio, anche se non evidenziata mediante un disegno; al contrario, nel disegnare quella figura effettivamente, dobbiamo per forza eseguire alcuni passaggi in successione temporale.
Questo fatto di eseguire il disegno per fasi può trarre in inganno, facendo pensare, ad esempio nel caso delle trasformazioni che ci accingiamo a trattare, che esista un prima e un dopo, cioè che prima abbiamo una figura, poniamo un quadrato, la quale viene poi trasformata in un trapezio mediante delle fasi operative, un pò come accade nell’eseguire una prospettiva, in cui partendo da figure come la pianta e l’alzato di un solido poi si ottiene una figura di forma generalmente divesa.
Nella geometria occorre considerare che il piano o lo spazio contengono già tutti gli enti, come punti, rette e piani, in numero infinito, anche se materialmente non sono stati evidenziati.
In altre parole, nella geometria non esiste un prima e un dopo, rispetto ad una trasformazione ad esempio, ma le due figure, quella prima della trasformazione e quella ottenuta a seguito della trasformazione, sono già presenti nello spazio anche se non sono state evidenziate con un disegno o con un modellino che, tuttavia, faremo ugualmente per la sola comodità che questo comporta nell’eseguire un ragionamento o una dimostrazione.
Il fattore tempo, invece, è tipico della fisica, scienza che si occupa di corpi reali, e delle loro reali trasformazioni nel tempo e nello spazio, a causa di qualche agente che produce effetti su quei corpi, come la caduta di una tegola da un tetto sulla strada a causa della forza di gravità, oppure la deformazione che subisce una passerella di legno appoggiata ai due estremi a causa del nostro passaggio.
Anche altre espressioni risultano poco appropriate come, ad esempio, "la retta passa per due punti": con la parola "passa" non si vuole intendere che prima la retta non c'era e adesso si, ma, per quanto detto sopra, si deve intendere che fissando due punti individuiamo una retta ben precisa, mentre se ne individuiamo uno solo allora le rette che passano per esso sono infinite.
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Occorre precisare che il significato linguistico della parola "trasformazione" non è adeguata nell’ambito della geometria, dove per figura geometrica si intendono due circostanze:
a) da una parte per figura geometrica si intende un insieme di enti geometrici comunque disposti come, ad esempio, un quadrato su un piano, oppure una piramide nello spazio, ecc., secondo come noi li concepiamo con il pensiero, per cui i suoi elementi hanno caratteristiche ideali. Ad esempio, il lato di un quadrato, pur avendo una lunghezza determinata, non ha spessore essendo costituito da una parte di retta detta segmento, e così il vertice della piramide non è un volume in forma di pallino per quanto piccolo ma, essendo un punto, non ha dimensione alcuna.
b) dall’altra parte per figura geometrica si intende quella che noi disegniamo su un foglio da disegno per aiutarci visivamente e, questa, in base a quanto detto sopra, non può essere accurata più di tanto, nonostante l’attenzione che potremmo prestare nell’esecuzione del disegno.
Carlo Felice Manara ripeteva spesso nelle sue lezioni che “la geometria è l’arte di ragionare bene sulle figure sbagliate” volendo significare che la figura che tracciamo su un foglio non può che essere approssimativa e che deve servirci solo per aiutare il pensiero con lo sguardo.
Precisazione 2, sulla assenza del tempo come fattore nella geometria
Nel concepire con il pensiero una figura, non necessariamente le sue parti hanno una successione temporale, poiché potremmo pensare che esista da sempre sul piano del foglio, anche se non evidenziata mediante un disegno; al contrario, nel disegnare quella figura effettivamente, dobbiamo per forza eseguire alcuni passaggi in successione temporale.
Questo fatto di eseguire il disegno per fasi può trarre in inganno, facendo pensare, ad esempio nel caso delle trasformazioni che ci accingiamo a trattare, che esista un prima e un dopo, cioè che prima abbiamo una figura, poniamo un quadrato, la quale viene poi trasformata in un trapezio mediante delle fasi operative, un pò come accade nell’eseguire una prospettiva, in cui partendo da figure come la pianta e l’alzato di un solido poi si ottiene una figura di forma generalmente divesa.
Nella geometria occorre considerare che il piano o lo spazio contengono già tutti gli enti, come punti, rette e piani, in numero infinito, anche se materialmente non sono stati evidenziati.
In altre parole, nella geometria non esiste un prima e un dopo, rispetto ad una trasformazione ad esempio, ma le due figure, quella prima della trasformazione e quella ottenuta a seguito della trasformazione, sono già presenti nello spazio anche se non sono state evidenziate con un disegno o con un modellino che, tuttavia, faremo ugualmente per la sola comodità che questo comporta nell’eseguire un ragionamento o una dimostrazione.
Il fattore tempo, invece, è tipico della fisica, scienza che si occupa di corpi reali, e delle loro reali trasformazioni nel tempo e nello spazio, a causa di qualche agente che produce effetti su quei corpi, come la caduta di una tegola da un tetto sulla strada a causa della forza di gravità, oppure la deformazione che subisce una passerella di legno appoggiata ai due estremi a causa del nostro passaggio.
Anche altre espressioni risultano poco appropriate come, ad esempio, "la retta passa per due punti": con la parola "passa" non si vuole intendere che prima la retta non c'era e adesso si, ma, per quanto detto sopra, si deve intendere che fissando due punti individuiamo una retta ben precisa, mentre se ne individuiamo uno solo allora le rette che passano per esso sono infinite.
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I postulati della geometria euclidea
La geometria euclidea è fondata su cinque postulati:
I. È sempre possibile congiungere due punti.
II. È sempre possibile prolungare un segmento.
III. È sempre possibile tracciare una circonferenza di assegnati centro e raggio.
IV. Tutti gli angoli retti sono uguali.
V. Se due rette a e b formano dalla stessa parte di una retta trasversale c due angoli di ampiezza a e b, tali che a+b è minore di due angoli retti, allora esse si incontrano dalla stessa parte.
Si deve a Proclo (411-485, Costantinopoli) la prova dell’equivalenza fra il postulato V delle parallele e l’unicità della parallela per un punto ad una retta. L’esistenza di tale parallela deriva però dai primi quattro postulati.
La geometria iperbolica, prima ad essere esposta tra le geometrie non euclidee, è invece fondata sui primi quattro postulati euclidei e sulla negazione del quinto postulato.
Nessun commentatore di Euclide aveva mai osato mettere in dubbio il postulato euclideo delle parallele prima di Saccheri, se non J. Wallis (1616-1703) con un tentativo di scarso rilievo.
La storia delle geometrie euclidee nasce per un errore di valutazione di Gerolamo Saccheri (1667-1733) che, nel tentativo di dimostrare l'indipendenza del V postulato di Euclide, ragionando per assurdo, concluse che non fossero possibili altre conclusioni che quelle di Euclide, e ne espose la dimostrazione in "Euclides ab omni naevo vindicatus", ovvero "Euclide ripulito da ogni neo" (1).
Dopo Saccheri vi furono altri approcci nel tentativo di scardinare la teoria delle parallele ad opera di J.H. Lambert (1728-1777) e di A.M. Legendre (1752-1833), prima di arrivare a C.F. Gauss (1777-1855) e a N.I. Lobacewskj (1793-1857), il vero inventore della geometria iperbolica.
Successivamente G. Veronese (1854-1917) contestò anche il postulato di continuità di Archimede, osservando che la continuità può essere osservata solo in una regione spaziale a noi prossima che possiamo direttamente constatare, dando origine alle geometrie non archimedee (2).
Già Aristotele (384-322 a.C.) aveva osservato che la scelta di assegnare alla somma degli angoli interni di un triangolo un certo valore (ad esempio di due angoli retti) era una scelta assolutamente libera, non condizionata dalla forma intrinseca dello spazio osservabile. Tali osservazioni sono state riscoperte nelle opere di etica dello Stagirita dal matematico Imre Toth (nato in Romania nel 1921).
Nell'ipotizzare anche la possibilità di avere triangoli la cui somma degli angoli interni fosse diversa da due retti richiamava la necessità della coerenza dei sistemi logici per cui, in tal caso, anche la somma degli angoli interni di un quadrato sarebbe dovuta essere diversa da quattro angoli retti e che, così facendo, sarebbero cambiate le caratteristiche anche di tutte le altre figure geometriche e, dunque, diede lo spunto per lo studio di geometrie diverse da quella che ancora non era nemmeno chiamata "geometria euclidea" (3), (4).
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Note
1 - Beltrami Eugenio, Un precursore italiano di Legendre e di Lobatschewsky, in Opere matematiche di Eugenio Beltrami. Pubblicate per cura della Facoltà di scienze della R. Università di Roma, p. 348.
2 - Fano Gino, Geometrie non euclidee e non archimedee, in Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi (a cura di Berzolari, Vivanti, Gigli), Vol II, tomo II, Hoepli 1979, pag. 499.
3 - Vedi anche: La rivoluzione non euclidea come rivoluzione etico politica, Intervista ad Imre Toth del 9-11-1991, in Enciclopedia multimediale delle scienze filosofiche; A colloquio con Imre Toth, Intervista del luglio 1992, a cura di Romano Gatto.
4 - Reale Giovanni, Storia della filosofia greca e romana. Vol. 4, Aristotele e il primo peripato, pagg. 151-157. Bompiani ed. 2004.
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I. È sempre possibile congiungere due punti.
II. È sempre possibile prolungare un segmento.
III. È sempre possibile tracciare una circonferenza di assegnati centro e raggio.
IV. Tutti gli angoli retti sono uguali.
V. Se due rette a e b formano dalla stessa parte di una retta trasversale c due angoli di ampiezza a e b, tali che a+b è minore di due angoli retti, allora esse si incontrano dalla stessa parte.Si deve a Proclo (411-485, Costantinopoli) la prova dell’equivalenza fra il postulato V delle parallele e l’unicità della parallela per un punto ad una retta. L’esistenza di tale parallela deriva però dai primi quattro postulati.
La geometria iperbolica, prima ad essere esposta tra le geometrie non euclidee, è invece fondata sui primi quattro postulati euclidei e sulla negazione del quinto postulato.
Nessun commentatore di Euclide aveva mai osato mettere in dubbio il postulato euclideo delle parallele prima di Saccheri, se non J. Wallis (1616-1703) con un tentativo di scarso rilievo.
La storia delle geometrie euclidee nasce per un errore di valutazione di Gerolamo Saccheri (1667-1733) che, nel tentativo di dimostrare l'indipendenza del V postulato di Euclide, ragionando per assurdo, concluse che non fossero possibili altre conclusioni che quelle di Euclide, e ne espose la dimostrazione in "Euclides ab omni naevo vindicatus", ovvero "Euclide ripulito da ogni neo" (1).
Dopo Saccheri vi furono altri approcci nel tentativo di scardinare la teoria delle parallele ad opera di J.H. Lambert (1728-1777) e di A.M. Legendre (1752-1833), prima di arrivare a C.F. Gauss (1777-1855) e a N.I. Lobacewskj (1793-1857), il vero inventore della geometria iperbolica.
Successivamente G. Veronese (1854-1917) contestò anche il postulato di continuità di Archimede, osservando che la continuità può essere osservata solo in una regione spaziale a noi prossima che possiamo direttamente constatare, dando origine alle geometrie non archimedee (2).
Già Aristotele (384-322 a.C.) aveva osservato che la scelta di assegnare alla somma degli angoli interni di un triangolo un certo valore (ad esempio di due angoli retti) era una scelta assolutamente libera, non condizionata dalla forma intrinseca dello spazio osservabile. Tali osservazioni sono state riscoperte nelle opere di etica dello Stagirita dal matematico Imre Toth (nato in Romania nel 1921).
Nell'ipotizzare anche la possibilità di avere triangoli la cui somma degli angoli interni fosse diversa da due retti richiamava la necessità della coerenza dei sistemi logici per cui, in tal caso, anche la somma degli angoli interni di un quadrato sarebbe dovuta essere diversa da quattro angoli retti e che, così facendo, sarebbero cambiate le caratteristiche anche di tutte le altre figure geometriche e, dunque, diede lo spunto per lo studio di geometrie diverse da quella che ancora non era nemmeno chiamata "geometria euclidea" (3), (4).
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Note
1 - Beltrami Eugenio, Un precursore italiano di Legendre e di Lobatschewsky, in Opere matematiche di Eugenio Beltrami. Pubblicate per cura della Facoltà di scienze della R. Università di Roma, p. 348.
2 - Fano Gino, Geometrie non euclidee e non archimedee, in Enciclopedia delle matematiche elementari e complementi (a cura di Berzolari, Vivanti, Gigli), Vol II, tomo II, Hoepli 1979, pag. 499.
3 - Vedi anche: La rivoluzione non euclidea come rivoluzione etico politica, Intervista ad Imre Toth del 9-11-1991, in Enciclopedia multimediale delle scienze filosofiche; A colloquio con Imre Toth, Intervista del luglio 1992, a cura di Romano Gatto.
4 - Reale Giovanni, Storia della filosofia greca e romana. Vol. 4, Aristotele e il primo peripato, pagg. 151-157. Bompiani ed. 2004.
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