Programma in forma di lettera (a Diego Fusaro)
A: fusaro@filosofico.net, 14 novembre 2013 14:44 - fusarod@libero.it, 14 novembre 2013 14:51 -
(Nota - Qui vengono aggiunti dei links, che il testo originario della e.mail non aveva, allo scopo di precisare ciò che scrivo)
Oggetto: Complimenti.
Sono contento di vederla in TV, idee chiare, esposte con chiarezza, e molto vicine al mio pensiero e, soprattutto, al mio modo di essere (perché il pensiero non è che solo l'ombra della vita, parafrasando il primissimo Abbagnano del 1923).
Vorrei incoraggiarla come si potrebbe fare con un amico, perché c'è tanto di irrazionale nella nostra società occidentale (al tramonto, secondo Spengler, 1918-23) che si presenta più come una "folla" occidentale (Le Bon, 1895).
Ho letto "a spizzichi e bocconi" (e mi riprometto di farlo con migliore sistematicità) il suo "Essere senza tempo" 2010, che, mi sembra, sia un'analisi accorta del valore antropologico del tempo.
Dopo "Essere e tempo" (1927), ed il suo "Essere senza tempo", mi viene in mente, e non già per giocare sulle parole di un titolo ad effetto, un "Tempo senza essere", ovvero una riflessione sull'esistenza (come quella attuale, a torto o a ragione non importa) autenticamente intesa, e non già come un qualcosa cui è stato soppresso il metafisico. Una riflessione sulla "ordinarietà" della vita, quella che non contempli forme posticce di essere.
Proverei a spiegarle meglio e come meglio mi vengano le parole.
Se dico che sono ateo non è vero perché non mi riconosco nel privativo "senza qualcosa", "senza dio", come se si potesse dire "afono", poiché in quest'ultimo caso la natura ci ha fatto con l'udito incorporato nella nostra sensibilità, ma non anche con la divinità incorporata nella nostra sensibilità.
Quindi non posso dirmi ateo, dal momento che ho tutto quel che natura vuole. I credenti, se mai, hanno qualcosa in più di me, come i ricchi hanno qualcosa in più di me, con il quale però non sono nati, ma se lo sono aggiunto per opera propria (avrebbero potuto darsi una collezione di farfalle invece dei soldi, ad esempio) o perché la condizione sociale lo ha richiesto o consentito.
Cioè, a me non manca niente, e uso quelle poche facoltà che natura mi ha fornito (la ragione soprattutto e, questo si, un po’ metafisicamente, la curiosità per i tanti fenomeni ancora inspiegabili, soprattutto nelle scienze, da quelle biologiche e quelle fisico-matematiche), per godere delle tante bellezze dell'esistenza (e, a volte, anche delle immense sofferenze di cui ci troviamo a patire nel corso della vita - cosa a lei ancora non accaduta, spero, vista l'età).
Non troverei niente di meglio, quindi, che leggere qualcosa in merito a "Tempo senza essere", che le proporrei di scrivere, prima che le scippino l'idea.
Con ciò si darebbe una ragione esistenziale positiva ai tanti che come me hanno condotto la vita dopo l'infanzia, in cui si è succubi della cultura e delle credenze domestiche. Una ragione esistenziale fatta di positività, senza "patacche" aggiunte ad arte dai preti e imbonitori di turno.
Forse l'ha già fatto Abbagnano nel suo "La struttura dell'esistenza" del 1939 (che dovrei rileggere), ma servirebbe una rivisitazione in chiave attuale.
Forse il passo successivo potrebbe essere "Senza tempo", tout-court, nel senso dato da Cioran in "La caduta nel tempo", 1964.
Mi scuserà l'apparente saccenteria delle citazioni di cui sopra, ma sono indicate solo con lo scopo di capirci meglio intorno a concetti già espressi da altri.
Grazie per l'attenzione
Federigo Enriques e gli eredi dei diritti d'autore

Ci ho pensato per mesi, e ora pubblico la corrispondenza e.mail intercorsa tra me e il Prof. Ciro Ciliberto nel periodo da aprile 2010 ad aprile 2012.
Si tratta di "cose" private, beninteso, ma la cui rilevanza pubblica appare certa e, dunque, ne do evidenza pubblica.
Riguarda la questione dei diritti d'autore di opere prossime alla scadenza del periodo di tutela legale di tale diritto, ed è relativa a Federigo Enriques (1871-1946).
Il testo viene riportato tal quale come scritto dagli autori, salvo correzioni ortografiche; aggiunte sono segnalate da [parentesi quadre].
Per apprezzare la "statura" di Enriques propongo la lettura di alcune pagine web: (1), (2), (3), (4), (5).
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Fau Baioc
A: "cilibert@mat.uniroma2.it"
Gentile Responsabile scientifico dell'Edizione nazionale delle opere di Federigo Enriques,
ho notato che molte opere contenute nel vostro sito web http://enriques.mat.uniroma2.it/home.html non sono più, da alcune settimane o mesi, in formato PDF ma in formato FLASH-PAPER. Mentre il formato PDF consente il Download dell'opera e la successiva consultazione anche off-line, quest'ultimo formato consente solo una consultazione on-line. Se da un punto di vista scientifico le due modalità sono equivalenti, non lo sono, tuttavia, dal punto di vista divulgativo in quanto il nuovo formato da voi adottato comporta limitazioni di accesso alle opere per quanti non dispongano stabilmente di un provider internet, ma ne abbiano accesso solo in alcune ore della giornata per motivi di lavoro o di studio, senza averne disponibilità in casa propria.
Potrà rendersi conto di quanto dico aprendo, ad esempio, la pagina http://enriques.mat.uniroma2.it/italiano/vol2.html che è relativa al Volume II, ed eseguendo l'accesso alla prima opera elencata del 1895 < 9506 > contenente "Conferenze di geometria: fondamenti di una geometria iperspaziale" che, per il formato disponibile, non consente il download.
Poiché la Commissione istituita dal Ministero è formata da persone la cui passione per la divulgazione della matematica e della storia della matematica ho potuto constatare personalmente in diversi seminari e corsi di aggiornamento tenuti in varie sedi in Italia, mi chiedo se il nuovo formato adottato (Flash-Parer) non sia, in realtà una contraddizione alla finalità di una più larga diffusione delle opere in questione.
La scelta, mi pare, non dovrebbe essere motivata dal dover contenere le spese tecniche di implementazione del sito web, ma mi sembrerebbe conseguente, forse, al dover tutelare i diritti d'autore. Se ciò è legittimo per le opere che abbiano meno di 70 anni, e cioè quelle edite dopo il 1940, mi sembra che per quelle precedenti tale diritto non sussista più. E, tuttavia, qualora i 70 anni decorrano invece, (secondo la legge che mi riprometto di consultare http://www.interlex.it/testi/l41_633.htm), dalla morte dell'autore (1946), ciò vuol dire che dovremo aspettare fino al 2016 per consultare le opere nella più comoda modalità PDF?
In ogni caso, né il formato PDF, né il nuovo da voi adottato, possono raggiungere la garanzia della tutela del diritto d'autore, in quanto anche il nuovo formato si presta ad essere copiato, anche se in modo più laborioso e, dunque, defatigante.
Le sarei grato se potesse illustrare le motivazioni della scelta (operata dalla Commissione?) di passare dal vecchio formato PDF al nuovo FLASH-PAPER.
Aggiungerei che diversi testi di Enriques, come di altri autori, sono reperibili in diverse biblioteche digitali come, ad esempio, la "University of Michigan Historical Math Collection" (esempio: le Lezioni di geometria descrittiva, in http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text idx?c=umhistmath;idno=ACV4849.0001.001) oppure la NUMDAM "Recherche et téléchargement d’archives de revues mathématiques numérisées".
Se il proposito fosse la tutela del diritto d'autore mi sembrerebbe un motivo di poca consistenza. E poi, si frenerebbe, rispetto alle potenzialità della "rete", quella diffusione che, mi pare di capire, si vorrebbe potenziare.
Grazie per l'attenzione
Fausto Baiocco
(Docente ordinario di Geometria Descrittiva presso l'Istituto Statale d'Arte di Ancona - Sito web: http://descrittiva.blogspot.com/)
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Ciro Ciliberto
A: Fau Baioc
Cc: paolo.bussotti@alice.it, vesentini@lincei.it, umberto.bottazzini@mat.unimi.it, cilibert@mat.uniroma2.it, ofaraco@tin.it, franciosi@ing.unipi.it, franco ghione
Gentile Professore,
rispondo al suo cortese messaggio e invio la risposta, per conoscenza, anche agli altri componenti la commissione.
Il problema che lei ha sollevato ci è ben presente e fa seguito ad una decisione sofferta che la commissione ha dovuto prendere in una delle sue passate riunioni. Il problema, come lei ha intuito, è proprio relativo ai diritti di autore ed è stato posto alla commissione dagli eredi di Enriques. Io non sono un giurista e preferisco affidare ad esperti la soluzione di problemi legali, nei quali cerco di non avventurarmi mai da solo. Questo è stato anche l'avviso della commissione che, nella persona del suo presidente, Prof. Edoardo Vesentini, si è informata presso esperti legali che hanno ritenuto del tutto appropriata la richiesta degli eredi di Enriques che noi ponessimo in rete files consultabili ma non scaricabili. Posso, a titolo del tutto personale, concordare con lei su varie delle cose che segnala. Ad esempio, sulla ''scarsa consistenza'' di una tale richiesta anche ai fini stessi della difesa dei diritti di autore, e sull'effetto ''frenante'' che essa ha rispetto alle potenzialità di diffusione della "rete". ma tant'è, la richiesta era appunto legittima e andava soddisfatta. Va aggiunto tuttavia che la messa in rete non è l'unico scopo che la commissione si prefigge. Infatti, il nostro obiettivo ultimo è la produzione della ristampa cartacea dell'opera completa di Enriques e su questa gli eredi non hanno posto alcun problema. La commissione, che gode di finanziamenti decisamente limitati, specie se paragonati alla mole dell'opera (essi sono stati peraltro rimpinguati proprio da alcuni generosi contributi degli eredi di Enriques, grazie ai quali si sta procedendo alla messa in rete delle opere) procederà spero presto al varo dei primi volumi che sono già in fase di progetto. Nel ringraziarla per il suo interesse e per le critiche garbate e motivate, le porgo i miei saluti,
Ciro Ciliberto
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Fau Baioc
A: Ciro Ciliberto
Cc: paolo.bussotti@alice.it, vesentini@lincei.it, umberto.bottazzini@mat.unimi.it, cilibert@mat.uniroma2.it, ofaraco@tin.it, franciosi@ing.unipi.it, franco ghione
Gentile Prof. Ciro Ciliberto,
la ringrazio per la risposta, che condivido, ma le opere maggiori di Enriques sono sul web in vari portali, non italiani e, dunque, il proposito della famiglia, legittimo e, a maggior ragione, condivisibile (e da parte mia in modo sentito), sembra poter essere raggiunto solo in parte. C'è, ovviamente, un'altra questione, ed è quella che, al di la degli interessi della famiglia, le opere in questione, anche per la robustezza del personaggio in un'epoca d'oro della nostra cultura (i suoi rapporti con Gentile, prima e dopo la sua nomina a ministro, i rapporti con Volterra, Einstein e Hilbert e, non ultima, la questione della razza) potrebbero aprire uno squarcio di luce sulla forza, soprattutto umana, dell'intervento del nostro e di altri nel rinnovamento della assopita borghesia umbertina, e ciò se si guarda alla sua azione in parallelo a quella di Marinetti e dei futuristi in quel quarto di secolo, che pare somigliargli.
E per fare ciò non basta disporre delle opere maggiori di Enriques, come le lezioni sulla geometria proiettiva e descrittiva e altre (per i miei interessi disciplinari), ma occorre andare nei meandri dei piccoli articoli di rivista, difficili da trovare anche sul web, come le lettere e le recensioni (illuminante lo stroncamento del Nostro, ad esempio, rispetto a Loria a proposito della storia del pensiero matematico greco).
Insomma, se potessimo andare oltre i giusti propositi della famiglia, direi che Enriques non è patrimonio solo di quella, ma è Patrimonio dell'umanità, tanto che viene citato e descritto anche in siti russi, cinesi, ecc. e, pertanto, pare appropriato fare un'azione di superamento delle pur legittime (e condivise) attese della famiglia che, in ogni caso, spirerebbero con il 70° anno , al massimo, dalla data di pubblicazione [o di morte dell’autore].
Forse occorrerebbe puntare sui fondi statali o europei, cercando di ristorare le esigenze della famiglia, anche per l'edizione cartacea, come si fa quando si restaura il Colosseo o la recentemente franata Domus Aurea, altrimenti, se il progetto di pubblicazione (sul web e cartacea) si dilunga oltremodo, si rischia che una causa qualsiasi (un incendio, una guerra, un sisma) seppellisca il tutto, per sopravvenute urgenze, nel dimenticatoio.
Certamente è una ipotesi inficiata di "italianità", ma non vedrei male il contatto con referenti politici sensibili al problema, in ambito italiano e, soprattutto, europeo: insomma l'aiuto di un deputato che possa chiarire i percorsi di un possibile finanziamento.
Ripeto: Enriques è patrimonio dell'umanità e, se consideriamo che la matematica è da quasi tre millenni prerogativa dell'occidente e, per esso, in particolare dell'Europa, dovremmo trovare qualcuno sensibile all'affaire proprio nell'Unione Europea e, perché no, proprio in quella sede celebrare il Nostro, come altri, ad esempio Ricci-Corbastro, che diede la stura alle idee di Einstein e Poincaré e che, invece, sono conosciuti poco al di la della comunità scientifica italiana.
E poi, potrebbe esserci il “modello commerciale” della Treccani, che vende opere in corso di realizzazione a prezzi promozionali (leggi: ribassati) rispetto a quelli che saranno al momento della disponibilità effettiva sul "mercato", garantendosi una fonte finanziaria preziosa nei cosiddetti "flussi di cassa". Non ultima, anche l'ipotesi di una edizione ridotta, per esempio 5-6 volumi, con le principali opere di matematica, geometria, fisica, ad uso di lettori qualificati, scuole e biblioteche pubbliche varie, laureati in fisica e matematica, ecc..
Mi scusi per il mio intervento "invasivo" nel lavoro della commissione.
Per ora la lascio e la ringrazio per l'attenzione.
Fausto Baiocco
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Ciro Ciliberto
A: Fau Baioc
Gentile Professore,
la ringrazio ancora per il suo messaggio il cui spirito son il primo a condividere. Purtroppo la sensibilità delle nostre istituzioni alla cultura in generale, a quella matematica e filosofica in ispecie, è alquanto limitata, con conseguenti scarsi contributi economici. In sede europea la tendenza appare quella di puntare su grandi progetti dall'immediato ritorno economico (si legga ricerca applicata o - magari sedicente - applicabile). Noi faremo quel che potremo e spero proprio che riusciremo a produrre qualcosa nella direzione che lei indica.
Cordiali saluti,
Ciro Ciliberto
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Fau Baioc
A: Ciro Ciliberto
Dopo 2 anni ritorno sull'argomento. Se ha pazienza le segnalo il link(*). Non le chiedo di inoltrarlo ad altri componenti la Commissione, ma se vuole lo faccia pure, anzi, direi che potrebbe essere un segnale del clima dei frequentatori del web.
Con cordialità
Fausto Baiocco
(*) IMPORTANTE (sganciamento di links a catena)
Il sito web Internet Archive e i siti collegati con esso hanno ritirato in questi giorni il libero accesso ad alcuni libri e, in questo caso, trattandosi di libri (-1- e -2-) di Federigo Enriques che ha un sito proprio presso l'Università di Roma II, si deve pensare che ciò sia avvenuto a seguito di accordi con gli eredi.
Questo ritiro del libero accesso digitale ai testi ha prodotto uno sganciamento di links a catena (per esempio questo, oppure quest'altro, oltre ai tanti miei links come questo), per cui non è più possibile accedere a tali opere. Poiché Enriques è morto il 14 giugno 1946, il diritto d'autore sulle sue opere scade il 15 giugno del 2016. Puoi accedere ugualmente all'opera citata: qui per la Geometria Proiettiva, mentre per la Geometria Descrittiva al momento non saprei dove (vedi Nota Amara qui sotto).
N.B. - A chi ne farà richiesta (e.mail: faubaio@gmail.com) verranno inviati i testi linkati che sono stati sganciati e quindi non più visibili on-line.
N.b. - To whom requests it (email: faubaio@gmail.com) will be sent the texts that have benn linked unhooked and then no more visible online.
Nota Amara - Se le finalità del Centro Studi Enriques sono esposte con chiarezza, non altrettanto chiaramente può dirsi dei mezzi attuati per perseguirle. Per quanto riguarda DESCRITTIVA VLTRA, che è finalizzato alla didattica verso i propri lettori, in particolare dei propri allievi, come lo sono molti siti simili, l'unico risultato che questa operazione di ritiro del libero accesso alle opere digitali ha prodotto è una accentuata urticanza, e ci si chiede: ma quanti soldi procura questa operazione di tutela del diritto d'autore se tra 4 anni potremmo tutti stampare e mettere in commercio le sue opere percependone gli utili? Non sarebbe stato meglio organizzare il libero accesso digitale, dal momento che costa sicuramente meno al Centro Enriques ed è più accessibile agli studenti?
Davvero si teme che qualche studente o professore stampi migliaia di fogli per il solo gusto di ledere il diritto d'autore di qualcuno? Certo, gli avvocati cui si saranno rivolti gli eredi di Enriques avranno illustrato, in base alla legge, i diritti di questi sulle opere: ma anche se il gioco vale la candela? E gli eredi come mai si accorgono nel 2010, a 64 anni dalla morte del Nostro e a 6 anni dalla scadenza di "loro" diritti, che potrebbero fare belle cose con tali opere? Probabilmente nemmeno i figli di Enriques sono gli autori di tale pensata e, probabilmente, lo sono invece i nipoti, in cerca di chissà quali vantaggi. E i tanti membri dal Comitato, alcuni dei quali ho avuto il piacere, oltre che l'onore, di conoscere personalmente a convegni e corsi, hanno consigliato agli eredi se il gioco vale la candela?
Se c'è una fisionomia in Italia che si eleva sopra tante è proprio quel Federigo Enriques che va a braccetto con Einstein ai congressi internazionali dell'epoca, e la sua opera non può essere oggetto di desideri inconfessabili, ma deve essere considerata patrimonio dell'umanità, come quella di Einstein, come quella di Piero della Francesca matematico, ecc., e messa a disposizione di chi intende capire le ragioni che questi hanno espresso in essa nel corso di decenni. Ai 4 soldi dei diritti d'autore, e a 4 anni dalla loro scadenza, si sarebbe anche potuto soprassedere. E quanti anni dovremmo ancora aspettare affinché sia completato il progetto e si possa accedere a quei testi?
E il benedetto Federigo, quello che andava a braccetto con Einstein in una comunità larga dove occorre ricordare anche Gregorio Ricci-Curbastro, approverebbe se potesse dire la sua oggi?
E tutte quelle istituzioni che infiorano il logo del Centro, compreso l'ex Presidente della Repubblica Carlo Azeglio Ciampi che è presidente della commissione per l'edizione delle opere, hanno chiaro che per 4 soldi fanno danno alla cultura anziché promuoverla?
A me, da grande ignorante di operazioni editoriali, pare proprio una operazione editoriale, per fare una bella collezione di 20-25 pomposi volumi cartacei (evitateci almeno il dorso in pelle), con i soldi pubblici, che finiranno omaggio negli scaffali di qualche decina di librerie dei soliti noti, ed il resto delle copie commercializzate, magari da Treccani, le ritroveremo negli scaffali di qualche notabile avvocato, non certo nelle biblioteche delle scuole o dei comuni, dal momento che non hanno più soldi per acquistare nemmeno l'ordinaria narrativa contemporanea, e a volte nemmeno la carta igienica per i bagni.
Da grande geometra qual era, il "cumgruere" tra le due situazioni l'avrebbe escluso, come finora, pare, stia facendo Emma Castelnuovo del padre, pure lei di famiglia ebraica come, si presume, gli eredi del Nostro, e imparentata con gli Enriques (vedi Nota Più Amara alla Nota Amara).
Nota Più Amara - E poi, non c'è solo la questione dei soldi o dei links, ma c'è una questione umana - sissignori - una questione di affetti, e se pure le opere del Nostro non sono racconti o romanzi, sono pur sempre opere che hanno la loro trama, i loro personaggi, la loro eleganza narrativa, la loro sorpresa anche dopo 10 volte che ne leggi un passo e, così, ti ci affezioni. Poi arriva uno e ti strappa il libro dalle mani e ti dice: "Questo è mio!". Così un percorso che hai gustato sempre più in decine di riletture si interrompe senza speranza e forse per sempre, o almeno nell'angosciante incertezza di un domani. Cosa dovremmo dire ad un tale figuro? Eh si, cari signori! Internet è anche questo, non è solo un immenso cimitero di banner pubblicitari!
Non vorrei proseguire, ma questa storia della cultura d'elite, fatta di enciclopedie e istituti di alti studi, mi sembra proprio ad usum delphini, cioè fatta apposta per i figli o nipoti poco dotati che vanno "aiutati" a campare, perché poi tra essi ci ritrovi i soliti noti e i figli dei soliti noti, come Gabriella Ciampi (figlia di Carlo Azeglio Ciampi) a Vicepresidente dell'Istituto per la storia del Risorgimento Italiano e, per finire, speriamo non anche, il più disinvolto figlio Claudio Ciampi che, a capo della BNL di New York non vigilava sulla filiale di Atlanta (da cui lo scandalo dei fondi all'Iraq).
Come si capisce, non ho un sassolino da levarmi dalla scarpa, ma un bel mucchio di sassolini.
Se ci sono imprecisioni o qualcuno si ritiene offeso in quanto detto segnalatemelo, provvederò di conseguenza.
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Ciro Ciliberto
A: Fau Baioc
Gentile Professore,
la ringrazio della segnalazione. Non ho da aggiungere altro a quanto già le scrissi tempo addietro, tranne che alcuni dei membri della commissione hanno provato a far presente agli eredi Enriques la stranezza della loro richiesta (legalmente assolutamente legittima), ma non c'è stato nulla da fare. Ciò detto, mi permetta però di farle presente che l'attacco, neanche tanto velato, che lei muove dalle pagine del suo blog alla Commissione (e non solo agli eredi Enriques) non mi pare motivato. Non abbiamo mai pensato a rilegature ''con dorso in pelle'', perchè siamo tutta gente che lavora e bada al sodo, pur tra le molte difficoltà e gli stenti in cui ci troviamo ad operare [vedi Post Scriptum alla fine della corrispondenza]. Nessuno di noi prende un centesimo di compenso (e ci mancherebbe altro!). Al momento, oltre a quanto messo in rete ed è comunque consultabile, stiamo lavorando alla pubblicazione cartacea di due volumi (questo è quanto ci consentono il nostro bilancio e le nostre risorse umane), di cui stiamo revisionando con cura le bozze, il che prende molto tempo e fatica, e aggiungendo revisioni bibliografiche, commenti, note redazionali, ecc. Tutto ''gratis et amore'', in aggiunta ai nostri compiti istituzionali: insegnamento, studio, ricerca ... .
Cordiali saluti,
Ciro Ciliberto
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Fau Baioc
A: Ciro Ciliberto
Gent. Ciliberto,
la ringrazio per la risposta. Circa la Commissione dico che mi pare inverosimile che non sia stata ascoltata dagli eredi, ma tutto è possibile. Spero che presto vi siano novità.
Con cordialità
Fausto Baiocco
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Post Scriptum (11-08-2012) - A proposito degli "stenti in cui ci troviamo ad operare" lamentati dal Prof. Ciro Ciliberti, con un pò di irriverenza e di malignità (confessa), di vis polemica (abbastanza palese da non dover essere confessa), nonché con la metodologia di operare della "serva", o del "pizzicagnolo" - se si crede - un pò approssimativi, ma efficaci per inquadrare la "cosa", mi permetto di elencare, utilizzando le "prodezze" non mie ma di Google, alcuni "oboli" (in modo non esaustivo, ovviamente) di cui ha dovuto subire le atroci conseguenze il Nostro.
Saggio nella galassia degli incarichi, o Elenco incompleto delle atroci sofferenze di cui ha dovuto patire Ciro Ciliberto in questi anni grami (o grassi - dipende dai punti di vista soggettivi)
2000 - L. 40.000.000 (oltre IVA e altri oneri eventualmente dovuti, come per legge), vedi art 6 del Dm 23-2-2000, e punto 3 del DM 13-1-2000 n. 1.
2001 - L. 40.000.000 (come sopra) Dm 26-1-2001.
2002 - € 20.658,28 (oltre IVA e altri oneri eventualmente dovuti per legge), vedi art. 6 del Dm 28-2-2002 n. 30.
...
- CONTINUO QUI -
Idee per una tesina intorno alla Geometria Descrittiva
Giovanni Gentile e Federigo Enriques, potrebbe essere il titolo di un racconto appassionante quanto tragico circa l'affossamento della cultura matematica italiana, che nel secolo XIX era riconosciuta unanimemente come un'avanguardia mondiale, operato deliberatamente dal primo personaggio del titolo, fervente idealista, ma d'altra pasta rispetto al più serio Benedetto Croce, contro il secondo personaggio.
Enriques, naturalmente, non fu solo in questa battaglia di resistenza della cultura scientifica contro le mere beghe di potere del primo personaggio e della sua corte, egli stesso cortigiano del fascismo. Non per una cultura scientifica in contrapposizione con quella umanistica, ma per la saggia integrazione delle due attraverso il cosiddetto metodo scientifico. E mentre Gentile e la sua corte frequentavano Mussolini, Enriques e Ricci-Curbastro frequentavano Einstein finché, con le leggi razziali, vi fu il definitivo tracollo della cultura in genere, in un soliloquio del fascismo che portò dritto dritto alla disastrosa guerra accanto ad Hitler.
C'è un bel libro che espone i tratti fondamentali di questa battaglia e riporta oltre un centinaio di lettere di corrispondenza tra i matematici italiani e Gentile. Si tratta di: Guerraggio Angelo e Nastasi Pietro, Gentile e i matematici italiani - Lettere 1907-1943, Bollati Boringhieri, Torino, 1993, pp. 260 (ISBN 88 . 339 . 0801 . 1), Vedi un sunto.
La scuola, e tutta la cultura italiana, risente tutt'ora di questa sterile contrapposizione che, credo, sia anche la fonte di tanta ingiustificabile avversione rispetto alla recente riforma degli ordinamenti scolastici.
Enriques, naturalmente, non fu solo in questa battaglia di resistenza della cultura scientifica contro le mere beghe di potere del primo personaggio e della sua corte, egli stesso cortigiano del fascismo. Non per una cultura scientifica in contrapposizione con quella umanistica, ma per la saggia integrazione delle due attraverso il cosiddetto metodo scientifico. E mentre Gentile e la sua corte frequentavano Mussolini, Enriques e Ricci-Curbastro frequentavano Einstein finché, con le leggi razziali, vi fu il definitivo tracollo della cultura in genere, in un soliloquio del fascismo che portò dritto dritto alla disastrosa guerra accanto ad Hitler.
C'è un bel libro che espone i tratti fondamentali di questa battaglia e riporta oltre un centinaio di lettere di corrispondenza tra i matematici italiani e Gentile. Si tratta di: Guerraggio Angelo e Nastasi Pietro, Gentile e i matematici italiani - Lettere 1907-1943, Bollati Boringhieri, Torino, 1993, pp. 260 (ISBN 88 . 339 . 0801 . 1), Vedi un sunto.
La scuola, e tutta la cultura italiana, risente tutt'ora di questa sterile contrapposizione che, credo, sia anche la fonte di tanta ingiustificabile avversione rispetto alla recente riforma degli ordinamenti scolastici.
Russell, la teiera spaziale e l'asino che vola
LA TEIERA SPAZIALE di Bertrand Russell (1872-1970) (dall'articolo mai pubblicato "Is There a God?" del 1952).1 - Se io sostenessi che tra la Terra e Marte c'è una teiera di porcellana in rivoluzione intorno al Sole lungo un'orbita ellittica, nessuno potrebbe contraddire la mia ipotesi, purché aggiungessi che la teiera è troppo piccola per essere rivelata, sia pure dal più potente dei telescopi.
2 - Ma se aggiungessi che - dato che la mia asserzione non può essere confutata - dubitarne sarebbe un'intollerabile presunzione da parte di chi ne dubita, si penserebbe con tutta ragione che sto dicendo fesserie.
3 - Se, invece, l'esistenza di una tale teiera venisse affermata in libri antichi, insegnata ogni domenica come sacra verità e instillata nelle menti dei bambini a scuola, l'esitazione nel credere alla sua esistenza diverrebbe un segno di eccentricità e porterebbe il dubbioso all'attenzione dello psichiatra, in un'età illuminata, o dell'Inquisitore, in tempi neanche troppo lontani.
Per me, il ragionamento assomiglia a quello dell'asino che vola. Ma guaderei meglio anche Ludwig Wittgenstein (1889-1951) in DELLA CERTEZZA (titolo originale, On Certainly, Oxford 1969):
1 - Se sai che qui c'è una mano allora ti concediamo tutto il resto.
(Il dire che questa proposizione così e così non si può provare non significa, naturalmente, che non la si può derivare da altre proposizioni; ogni proposizione si può derivare da altre. Ma può darsi che queste non siano più sicure della proposizione stessa). ...
2 - Dal fatto che a me - o a tutti - sembri così, non segue che sia così.
3 - Se per esempio un tizio dice: "Io non so se qui ci sta una mano", gli si potrebbe replicare: "Guarda un po' meglio". - Questa possibilità di convincersi fa parte del gioco linguistico. E' uno dei suoi tratti essenziali.
Con un po' di ardimento si potrebbe passare al Tractatus logico-philosophicus, sempre di Wittgenstein, l'unico suo libro edito in vita (Vienna 1918), la cui prefazione dell'autore apre così:
Tutto ciò che può essere detto si può dire chiaramente; e su ciò, di cui non si può parlare, si deve tacere.
E il cui testo chiude così:
Su ciò, di cui non si può parlare, si deve tacere.
E così, dei tre settori in cui Karl Marx divideva la branca della "sovrastruttura" di un sistema sociale (religione, politica e cultura), ne abbiamo fatti fuori due con un colpo solo, giacché anche la politica, certa politica, e non solo essa, si serve dell'espediente del "somaro che vola".
Della "struttura", cioè delle forze produttive, e della "infrastruttura", cioè delle opere che servono a far funzionare le altre due branche, come strade, aeroporti, scuole, ospedali, ecc., non è nostro compito occuparcene qui.
Dunque, non ci rimane che occuparci della cultura, evitando la degradante gentiliana distinzione tra cultura umanistica e cultura scientifica.
Per approfondire l'argomento vi sono dei links: (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11). Se non ti bastano, vedi Storie di ordinaria follia.
Aggiunta: Programma in forma di lettera (a Diego Fusaro)
A: fusaro@filosofico.net, 14 novembre 2013 14:44 - fusarod@libero.it, 14 novembre 2013 14:51 -
(Nota - Qui vengono aggiunti dei links, che il testo originario della e.mail non aveva, allo scopo di precisare ciò che scrivo)
Oggetto: Complimenti.
Sono contento di vederla in TV, idee chiare, esposte con chiarezza, e molto vicine al mio pensiero e, soprattutto, al mio modo di essere (perché il pensiero non è che solo l'ombra della vita, parafrasando il primissimo Abbagnano del 1923).
Vorrei incoraggiarla come si potrebbe fare con un amico, perché c'è tanto di irrazionale nella nostra società occidentale (al tramonto, secondo Spengler, 1918-23) che si presenta più come una "folla" occidentale (Le Bon, 1895).
Ho letto "a spizzichi e bocconi" (e mi riprometto di farlo con migliore sistematicità) il suo "Essere senza tempo" 2010, che, mi sembra, sia un'analisi accorta del valore antropologico del tempo.
Dopo "Essere e tempo" (1927), ed il suo "Essere senza tempo", mi viene in mente, e non già per giocare sulle parole di un titolo ad effetto, un "Tempo senza essere", ovvero una riflessione sull'esistenza (come quella attuale, a torto o a ragione non importa) autenticamente intesa, e non già come un qualcosa cui è stato soppresso il metafisico. Una riflessione sulla "ordinarietà" della vita, quella che non contempli forme posticce di essere.
Proverei a spiegarle meglio e come meglio mi vengano le parole.
Se dico che sono ateo non è vero perché non mi riconosco nel privativo "senza qualcosa", "senza dio", come se si potesse dire "afono", poiché in quest'ultimo caso la natura ci ha fatto con l'udito incorporato nella nostra sensibilità, ma non anche con la divinità incorporata nella nostra sensibilità.
Quindi non posso dirmi ateo, dal momento che ho tutto quel che natura vuole. I credenti, se mai, hanno qualcosa in più di me, come i ricchi hanno qualcosa in più di me, con il quale però non sono nati, ma se lo sono aggiunto per opera propria (avrebbero potuto darsi una collezione di farfalle invece dei soldi, ad esempio) o perché la condizione sociale lo ha richiesto o consentito.
Cioè, a me non manca niente, e uso quelle poche facoltà che natura mi ha fornito (la ragione soprattutto e, questo si, un po’ metafisicamente, la curiosità per i tanti fenomeni ancora inspiegabili, soprattutto nelle scienze, da quelle biologiche e quelle fisico-matematiche), per godere delle tante bellezze dell'esistenza (e, a volte, anche delle immense sofferenze di cui ci troviamo a patire nel corso della vita - cosa a lei ancora non accaduta, spero, vista l'età).
Non troverei niente di meglio, quindi, che leggere qualcosa in merito a "Tempo senza essere", che le proporrei di scrivere, prima che le scippino l'idea.
Con ciò si darebbe una ragione esistenziale positiva ai tanti che come me hanno condotto la vita dopo l'infanzia, in cui si è succubi della cultura e delle credenze domestiche. Una ragione esistenziale fatta di positività, senza "patacche" aggiunte ad arte dai preti e imbonitori di turno.
Forse l'ha già fatto Abbagnano nel suo "La struttura dell'esistenza" del 1939 (che dovrei rileggere), ma servirebbe una rivisitazione in chiave attuale.
Forse il passo successivo potrebbe essere "Senza tempo", tout-court, nel senso dato da Cioran in "La caduta nel tempo", 1964.
Mi scuserà l'apparente saccenteria delle citazioni di cui sopra, ma sono indicate solo con lo scopo di capirci meglio intorno a concetti già espressi da altri.
Grazie per l'attenzione
La posizione del piano di proiezione nei metodi di rappresentazione
In un metodo di rappresentazione della geometria descrittiva la posizione del piano di proiezione è del tutto indifferente ai fini della rappresentazione di un oggetto qualsiasi. Tuttavia occorre tenere presente che la scelta di una certa posizione non è del tutto indifferente rispetto alla comprensibilità dell'oggetto da rappresentare, per cui la "scelta a piacere" necessita di precisazioni.
INTRODUZIONE
La rappresentazione è peculiare dell'essere umano che, quando opera e osserva la realtà spaziale, ha una postura particolare, e cioè quella eretta, ovvero la visione avviene stando in piedi ed è fatta con la prevalente direzione orizzontale. Questa circostanza consiglia che il piano di proiezione pigreco sia posto con giacitura verticale e, pertanto, il mezzo più appropriato per materializzarlo non è il foglio da disegno, che generalmente viene appoggiato ad un tavolo (piano orizzontale), ma è la lavagna (piano verticale) dove il docente traccia le costruzioni geometriche. Ovviamente sia operando sul foglio da disegno, sia operando alla lavagna, i risultati non cambiano (a parte le dimensioni delle figure), come pure non cambiano se tale piano di proiezione venisse inclinato in modo diverso come, ad esempio, su un tavolo da disegno basculante (indifferenza del sistema di riferimento rispetto allo spazio).
La questione, lungi dall'essere speciosa, ha una motivazione essenzialmente storica poiché nasce nel Rinascimento essenzialmente ad opera di pittori che operano su piani verticali (muri, tele e pale), anche se in seguito le esigenze di carattere pratico, come le costruzioni edilizie e il disegno di oggetti d'uso e di macchine nel periodo della rivoluzione industriale, o la cartografia del territorio, oppure il disegno di oggetti più moderni come lo scafo della nave o la carrozzeria delle automobili porteranno all'uso anche di proiezioni su piani orizzontali (la pianta dell'oggetto) e anche inclinati diversamente.
Poiché gli argomenti di questo sito web sono destinati a studenti che devono apprendere una disciplina poco frequentata, specie oggi che le immagini possono ottenersi con il software informatico pur senza sapere niente di geometria descrittiva, allora ho scelto di evitare virtuosismi grafici inutili, attenendomi, fin quando possibile e senza forzature, ad una rappresentazione su piano verticale (salvo le piante, ovviamente).
Poiché queste circostanze non vengono mai esaminate nei testi didattici, si assiste a rappresentazioni indifferenti a tale criterio, potendo trovarsi rappresentazioni del metodo delle proiezioni centrali, che poi serve essenzialmente alla prospettiva, ad esempio, sia operando su piano verticale che su quello orizzontale (specialmente nei testi delle facoltà di matematica), e ciò porta a disorientamento nell'allievo, specie quando voglia integrare lo studio con testi diversi da quelli consigliati dal docente.
Se l'indifferenza del piano di rappresentazione può rappresentare una buona palestra per gli allievi più dotati, ciò è certamente fonte di difficoltà e frustrazione per quelli che lo sono di meno e, a volte, si assiste anche ad una vera e propria disaffezione, con frequenti abbandoni già prima di averne apprezzato le soddisfazioni della disciplina.
PROIEZIONI ORTOGONALI (mongiane)
Nelle proiezioni ortogonali mongiane potremmo considerare tale piano di proiezione alternativamente o verticale (come generalmente operiamo quando si disegna su una lavagna scolastica) oppure orizzontale (come avviene quando si disegna su un foglio appoggiato su di un tavolo).
Pur essendo del tutto indifferente, raggiungeremo una migliore comprensione dell'oggetto rappresentato se disponiamo il foglio da disegno parallelamente alla faccia dell'oggetto che stiamo considerando: se, ad esempio, stiamo guardando il prospetto di un fabbricato, o la parete di un mobile, verrà più spontaneo disporre il foglio verticalmente, mentre se dobbiamo renderci conto della pianta di un appartamento verrà più naturale disporre il foglio orizzontalmente.
PROIEZIONI CENTRALI (e prospettiva)
Nella prospettiva appare più proficua, ai fini della migliore comprensione dell'oggetto rappresentato, disporre il foglio da disegno verticalmente in quanto la postura del nostro corpo è generalmente eretta, cioè verticale, e la direzione prevalente dello sguardo è, di conseguenza, orizzontale.
Nelle proiezioni centrali, che sono la base teorica della prospettiva, la disposizione del piano di proiezione appare del tutto indifferente ma si potrà raggiungere una migliore comprensione dell'oggetto rappresentato (o da rappresentare) se disponiamo il foglio da disegno e, dunque, il quadro pigreco con la stessa giacitura dell'oggetto: se, per esempio, devo rappresentare la prospettiva di un ambiente, la posizione più efficace del piano di proiezione è quella verticale atteso che le persone, quando lavorano, hanno postura eretta, mentre se devo rappresentare la visione dall'alto di un oggetto o di un ambiente urbano la disposizione migliore per il quadro appare quella orizzontale, come quando si è in volo, su un aereo o su un deltaplano, per cui guardiamo generalmente in direzione verticale verso il basso.
Poiché la teoria delle proiezioni centrali, specie all'inizio dello studio quando si affrontano problemi di appartenenza, di parallelismo e di ortogonalità, senza finalizzarli alla rappresentazione di un oggetto concreto, può rappresentare una certa difficoltà visiva, e poiché successivamente tali nozioni verranno prevalentemente impiegate nell'esecuzione di disegni prospettici, allora preferiamo assumere anche per questo studio teorico la disposizione verticale del piano di proiezione. Disposizione verticale che manterremo anche nello studio di quanto connesso a tale teoria come, ad esempio, le coniche.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Poiché l'assonometria può essere sia ortogonale che obliqua, in questo caso disporremo il piano di proiezione conformemente a quanto richiesto in quella particolare assonometria.
PROIEZIONI QUOTATE
Le proiezioni quotate sono impiegate con buon profitto visivo nella rappresentazione dall'alto della forma del terreno (isoipse, cioè linee che hanno la medesima quota da un piano orizzontale, chiamate anche curve di livello) e, pertanto, in questo caso disporremo il piano di proiezione orizzontalmente, mentre se impieghiamo il metodo per rappresentare la parete laterale di un'automobile o di una imbarcazione disporremo il quadro verticalmente.
INTRODUZIONE
La rappresentazione è peculiare dell'essere umano che, quando opera e osserva la realtà spaziale, ha una postura particolare, e cioè quella eretta, ovvero la visione avviene stando in piedi ed è fatta con la prevalente direzione orizzontale. Questa circostanza consiglia che il piano di proiezione pigreco sia posto con giacitura verticale e, pertanto, il mezzo più appropriato per materializzarlo non è il foglio da disegno, che generalmente viene appoggiato ad un tavolo (piano orizzontale), ma è la lavagna (piano verticale) dove il docente traccia le costruzioni geometriche. Ovviamente sia operando sul foglio da disegno, sia operando alla lavagna, i risultati non cambiano (a parte le dimensioni delle figure), come pure non cambiano se tale piano di proiezione venisse inclinato in modo diverso come, ad esempio, su un tavolo da disegno basculante (indifferenza del sistema di riferimento rispetto allo spazio).
La questione, lungi dall'essere speciosa, ha una motivazione essenzialmente storica poiché nasce nel Rinascimento essenzialmente ad opera di pittori che operano su piani verticali (muri, tele e pale), anche se in seguito le esigenze di carattere pratico, come le costruzioni edilizie e il disegno di oggetti d'uso e di macchine nel periodo della rivoluzione industriale, o la cartografia del territorio, oppure il disegno di oggetti più moderni come lo scafo della nave o la carrozzeria delle automobili porteranno all'uso anche di proiezioni su piani orizzontali (la pianta dell'oggetto) e anche inclinati diversamente.
Poiché gli argomenti di questo sito web sono destinati a studenti che devono apprendere una disciplina poco frequentata, specie oggi che le immagini possono ottenersi con il software informatico pur senza sapere niente di geometria descrittiva, allora ho scelto di evitare virtuosismi grafici inutili, attenendomi, fin quando possibile e senza forzature, ad una rappresentazione su piano verticale (salvo le piante, ovviamente).
Poiché queste circostanze non vengono mai esaminate nei testi didattici, si assiste a rappresentazioni indifferenti a tale criterio, potendo trovarsi rappresentazioni del metodo delle proiezioni centrali, che poi serve essenzialmente alla prospettiva, ad esempio, sia operando su piano verticale che su quello orizzontale (specialmente nei testi delle facoltà di matematica), e ciò porta a disorientamento nell'allievo, specie quando voglia integrare lo studio con testi diversi da quelli consigliati dal docente.
Se l'indifferenza del piano di rappresentazione può rappresentare una buona palestra per gli allievi più dotati, ciò è certamente fonte di difficoltà e frustrazione per quelli che lo sono di meno e, a volte, si assiste anche ad una vera e propria disaffezione, con frequenti abbandoni già prima di averne apprezzato le soddisfazioni della disciplina.
PROIEZIONI ORTOGONALI (mongiane)
Nelle proiezioni ortogonali mongiane potremmo considerare tale piano di proiezione alternativamente o verticale (come generalmente operiamo quando si disegna su una lavagna scolastica) oppure orizzontale (come avviene quando si disegna su un foglio appoggiato su di un tavolo).
Pur essendo del tutto indifferente, raggiungeremo una migliore comprensione dell'oggetto rappresentato se disponiamo il foglio da disegno parallelamente alla faccia dell'oggetto che stiamo considerando: se, ad esempio, stiamo guardando il prospetto di un fabbricato, o la parete di un mobile, verrà più spontaneo disporre il foglio verticalmente, mentre se dobbiamo renderci conto della pianta di un appartamento verrà più naturale disporre il foglio orizzontalmente.
PROIEZIONI CENTRALI (e prospettiva)
Nella prospettiva appare più proficua, ai fini della migliore comprensione dell'oggetto rappresentato, disporre il foglio da disegno verticalmente in quanto la postura del nostro corpo è generalmente eretta, cioè verticale, e la direzione prevalente dello sguardo è, di conseguenza, orizzontale.
Nelle proiezioni centrali, che sono la base teorica della prospettiva, la disposizione del piano di proiezione appare del tutto indifferente ma si potrà raggiungere una migliore comprensione dell'oggetto rappresentato (o da rappresentare) se disponiamo il foglio da disegno e, dunque, il quadro pigreco con la stessa giacitura dell'oggetto: se, per esempio, devo rappresentare la prospettiva di un ambiente, la posizione più efficace del piano di proiezione è quella verticale atteso che le persone, quando lavorano, hanno postura eretta, mentre se devo rappresentare la visione dall'alto di un oggetto o di un ambiente urbano la disposizione migliore per il quadro appare quella orizzontale, come quando si è in volo, su un aereo o su un deltaplano, per cui guardiamo generalmente in direzione verticale verso il basso.
Poiché la teoria delle proiezioni centrali, specie all'inizio dello studio quando si affrontano problemi di appartenenza, di parallelismo e di ortogonalità, senza finalizzarli alla rappresentazione di un oggetto concreto, può rappresentare una certa difficoltà visiva, e poiché successivamente tali nozioni verranno prevalentemente impiegate nell'esecuzione di disegni prospettici, allora preferiamo assumere anche per questo studio teorico la disposizione verticale del piano di proiezione. Disposizione verticale che manterremo anche nello studio di quanto connesso a tale teoria come, ad esempio, le coniche.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Poiché l'assonometria può essere sia ortogonale che obliqua, in questo caso disporremo il piano di proiezione conformemente a quanto richiesto in quella particolare assonometria.
PROIEZIONI QUOTATE
Le proiezioni quotate sono impiegate con buon profitto visivo nella rappresentazione dall'alto della forma del terreno (isoipse, cioè linee che hanno la medesima quota da un piano orizzontale, chiamate anche curve di livello) e, pertanto, in questo caso disporremo il piano di proiezione orizzontalmente, mentre se impieghiamo il metodo per rappresentare la parete laterale di un'automobile o di una imbarcazione disporremo il quadro verticalmente.
Corrispondenza e relazione tra due insiemi
Dati due insiemi, si possono stabilire più tipi di corrispondenza e relazioni tra di essi o, meglio, tra gli elementi del primo insieme e quelli del secondo insieme.
Vi possono essere due classificazioni: quella relativa all'algebra degli insiemi (che in questa sede scarteremo perché ha poca efficacia visiva) e quella degli insiemi di coppie che, utilizzando il diagramma di Eulero-Wenn, fornisce anche una rappresentazione visiva.
Classificazione delle relazioni tra due insiemi in base all'insieme delle coppie
...... In attesa di completare il post, vedi anche un post precedente.
Vi possono essere due classificazioni: quella relativa all'algebra degli insiemi (che in questa sede scarteremo perché ha poca efficacia visiva) e quella degli insiemi di coppie che, utilizzando il diagramma di Eulero-Wenn, fornisce anche una rappresentazione visiva.
Classificazione delle relazioni tra due insiemi in base all'insieme delle coppie
...... In attesa di completare il post, vedi anche un post precedente.
Esempi di gruppi in Aritmetica
Richiamo - Un insieme di elementi, ed una operazione binaria, è un gruppo se soddisfa gli assiomi dei gruppi (cioè quello dell'associatività, quello dell'identità e quello dell'opposto). Pertanto, attribuire la caratteristica di gruppo significa verificare se sono soddisfatti i tre assiomi dei gruppi.
Riepilogo della nomenclatura
- Gruppo: G -
- Insieme di elementi: U -
- Elementi: u -
- Operazione binaria: r -
- Elemento identità: I -
- Elemento inverso dell'elemento u: inv.u -
Esempio 1
Ipotesi su quello che per il momento chiameremmo Gruppo A - Se prendiamo
Insieme degli elementi U: tutti gli interi (positivi, negativi e zero), indicati con u;
Operazione binaria r: addizione;
siamo in presenza di un gruppo?
Procediamo.
Verifica dell'assioma dell'associatività: l'addizione tra numeri interi è facilmente verificabile che è associativa.
Verifica dell'assioma dell'identità: notiamo che l'insieme degli elementi U contiene anche lo zero che, per l'operazione di addizione, costituisce l'elemento identità (I).
Infatti per ogni elemento u dell'insieme si ha: u + 0 = 0 + u = u, cioè l'operazione fa rimanere invariato l'elemento u di partenza.
Verifica dell'assioma dell'inverso: dalla verifica dell'assioma precedente abbiamo visto che l'elemento identità è lo 0. Se l'elemento u è un numero intero, il suo inverso inv.u, relativamente all'operazione di addizione, sarà quell'elemento dell'insieme che, mediante l'operazione di addizione, porta all'elemento identità, cioè allo 0.
In questo caso si tratta dell'elemento -u (che abbiamo detto appartenere all'insieme in quanto sono compresi anche i numeri negativi), infatti verifichiamo che u + (-u) = (-u) + u = 0, e con un esempio numerico prendendo u=5 si ha inv.u=-5, quindi: 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0.
Conclusione
La verifica dei tre assiomi ha dimostrato che il Gruppo A è effettivamente un gruppo che possiamo chiamare "addizione tra numeri interi".
Esempio 2
Ipotesi su quello che per il momento chiameremmo Gruppo B - Se prendiamo
Insieme degli elementi U: tutti gli interi (positivi, negativi e zero), indicati con u;
Operazione binaria r: moltiplicazione;
siamo in presenza di un gruppo?
Procediamo.
Verifica dell'assioma dell'associatività: la moltiplicazione tra numeri interi è facilmente verificabile che è associativa, in quanto fornisce numeri u anch'essi interi e, quindi, appartenenti all'insieme U come definito sopra.
Verifica dell'assioma dell'identità: ... (si lascia la verifica al lettore).
Verifica dell'assioma dell'inverso: ... (si lascia la verifica al lettore).
Conclusione:
... (si lascia la conclusione al lettore).
Osservazione - Occorre distinguere sull'uso della parola "inverso". In aritmetica è anche sinonimo di "reciproco" ed è usato in senso specifico nella moltiplicazione, p. es. il numero 3 e il numero 1/3 sono reciproci poichè la loro moltiplicazione fornisce 1.
Nell'ambito della Teoria dei gruppi, invece, ha un senso più ampio, e significa un elemento inv.u che, con un altro elemento u, assoggettati entrambi ad una operazione r, produce l'elemento identità I che, a sua volta, assoggettato alla medesima operazione r è in grado di fornire come risultato l'elemento di partenza u cioè, con notazione sintetica, (inv.u r u) r u = u cioè I r u = u.
Se prendiamo l'insieme dei numeri razionali abbiamo due risultati diversi a seconda che l'operazione r del gruppo sia l'addizione o la moltiplicazione.
Ad esempio, con l'addizione si ha: (inv.5 + 5) + 5 = 5, cioè (-5 + 5) + 5 = 5, quindi, inv.5 = -5 (infatti I = 0);
mentre con la moltiplicazione si ha: (inv.5 x 5) x 5 = 5, cioè (1/5 x 5) x 5 = 5, quindi, inv.5 = 1/5 (infatti I = 1).
.
Nota - Gli esempi sono stati tratti da: Grossman Israel e Magnus Wilhelm, I gruppi e i loro grafi, Zanichelli 1969, pag. 24 (edizione originale inglese: 1964).
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Riepilogo della nomenclatura
- Gruppo: G -
- Insieme di elementi: U -
- Elementi: u -
- Operazione binaria: r -
- Elemento identità: I -
- Elemento inverso dell'elemento u: inv.u -
Esempio 1
Ipotesi su quello che per il momento chiameremmo Gruppo A - Se prendiamo
Insieme degli elementi U: tutti gli interi (positivi, negativi e zero), indicati con u;
Operazione binaria r: addizione;
siamo in presenza di un gruppo?
Procediamo.
Verifica dell'assioma dell'associatività: l'addizione tra numeri interi è facilmente verificabile che è associativa.
Verifica dell'assioma dell'identità: notiamo che l'insieme degli elementi U contiene anche lo zero che, per l'operazione di addizione, costituisce l'elemento identità (I).
Infatti per ogni elemento u dell'insieme si ha: u + 0 = 0 + u = u, cioè l'operazione fa rimanere invariato l'elemento u di partenza.
Verifica dell'assioma dell'inverso: dalla verifica dell'assioma precedente abbiamo visto che l'elemento identità è lo 0. Se l'elemento u è un numero intero, il suo inverso inv.u, relativamente all'operazione di addizione, sarà quell'elemento dell'insieme che, mediante l'operazione di addizione, porta all'elemento identità, cioè allo 0.
In questo caso si tratta dell'elemento -u (che abbiamo detto appartenere all'insieme in quanto sono compresi anche i numeri negativi), infatti verifichiamo che u + (-u) = (-u) + u = 0, e con un esempio numerico prendendo u=5 si ha inv.u=-5, quindi: 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0.
Conclusione
La verifica dei tre assiomi ha dimostrato che il Gruppo A è effettivamente un gruppo che possiamo chiamare "addizione tra numeri interi".
Esempio 2
Ipotesi su quello che per il momento chiameremmo Gruppo B - Se prendiamo
Insieme degli elementi U: tutti gli interi (positivi, negativi e zero), indicati con u;
Operazione binaria r: moltiplicazione;
siamo in presenza di un gruppo?
Procediamo.
Verifica dell'assioma dell'associatività: la moltiplicazione tra numeri interi è facilmente verificabile che è associativa, in quanto fornisce numeri u anch'essi interi e, quindi, appartenenti all'insieme U come definito sopra.
Verifica dell'assioma dell'identità: ... (si lascia la verifica al lettore).
Verifica dell'assioma dell'inverso: ... (si lascia la verifica al lettore).
Conclusione:
... (si lascia la conclusione al lettore).
Osservazione - Occorre distinguere sull'uso della parola "inverso". In aritmetica è anche sinonimo di "reciproco" ed è usato in senso specifico nella moltiplicazione, p. es. il numero 3 e il numero 1/3 sono reciproci poichè la loro moltiplicazione fornisce 1.
Nell'ambito della Teoria dei gruppi, invece, ha un senso più ampio, e significa un elemento inv.u che, con un altro elemento u, assoggettati entrambi ad una operazione r, produce l'elemento identità I che, a sua volta, assoggettato alla medesima operazione r è in grado di fornire come risultato l'elemento di partenza u cioè, con notazione sintetica, (inv.u r u) r u = u cioè I r u = u.
Se prendiamo l'insieme dei numeri razionali abbiamo due risultati diversi a seconda che l'operazione r del gruppo sia l'addizione o la moltiplicazione.
Ad esempio, con l'addizione si ha: (inv.5 + 5) + 5 = 5, cioè (-5 + 5) + 5 = 5, quindi, inv.5 = -5 (infatti I = 0);
mentre con la moltiplicazione si ha: (inv.5 x 5) x 5 = 5, cioè (1/5 x 5) x 5 = 5, quindi, inv.5 = 1/5 (infatti I = 1).
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Nota - Gli esempi sono stati tratti da: Grossman Israel e Magnus Wilhelm, I gruppi e i loro grafi, Zanichelli 1969, pag. 24 (edizione originale inglese: 1964).
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