Russell, la teiera spaziale e l'asino che vola

LA TEIERA SPAZIALE di Bertrand Russell (1872-1970) (dall'articolo mai pubblicato "Is There a God?" del 1952).
1 - Se io sostenessi che tra la Terra e Marte c'è una teiera di porcellana in rivoluzione intorno al Sole lungo un'orbita ellittica, nessuno potrebbe contraddire la mia ipotesi, purché aggiungessi che la teiera è troppo piccola per essere rivelata, sia pure dal più potente dei telescopi.
2 - Ma se aggiungessi che - dato che la mia asserzione non può essere confutata - dubitarne sarebbe un'intollerabile presunzione da parte di chi ne dubita, si penserebbe con tutta ragione che sto dicendo fesserie.
3 - Se, invece, l'esistenza di una tale teiera venisse affermata in libri antichi, insegnata ogni domenica come sacra verità e instillata nelle menti dei bambini a scuola, l'esitazione nel credere alla sua esistenza diverrebbe un segno di eccentricità e porterebbe il dubbioso all'attenzione dello psichiatra, in un'età illuminata, o dell'Inquisitore, in tempi neanche troppo lontani.

Per me, il ragionamento assomiglia a quello dell'asino che vola. Ma guaderei meglio anche Ludwig Wittgenstein (1889-1951) in DELLA CERTEZZA (titolo originale, On Certainly, Oxford 1969):
1 - Se sai che qui c'è una mano allora ti concediamo tutto il resto. 
(Il dire che questa proposizione così e così non si può provare non significa, naturalmente, che non la si può derivare da altre proposizioni; ogni proposizione si può derivare da altre. Ma può darsi che queste non siano più sicure della proposizione stessa).  ...
2 - Dal fatto che a me - o a tutti - sembri così, non segue che sia così.
3 - Se per esempio un tizio dice: "Io non so se qui ci sta una mano", gli si potrebbe replicare: "Guarda un po' meglio". - Questa possibilità di convincersi fa parte del gioco linguistico. E' uno dei suoi tratti essenziali.

Con un po' di ardimento si potrebbe passare al Tractatus logico-philosophicus, sempre di Wittgenstein, l'unico suo libro edito in vita (Vienna 1918), la cui prefazione dell'autore apre così:
Tutto ciò che può essere detto si può dire chiaramente; e su ciò, di cui non si può parlare, si deve tacere.
E il cui testo chiude così:
Su ciò, di cui non si può parlare, si deve tacere.

E così, dei tre settori in cui Karl Marx divideva la branca della "sovrastruttura" di un sistema sociale (religione, politica e cultura), ne abbiamo fatti fuori due con un colpo solo, giacché anche la politica, certa politica, e non solo essa, si serve dell'espediente del "somaro che vola".
Della "struttura", cioè delle forze produttive, e della "infrastruttura", cioè delle opere che servono a far funzionare le altre due branche, come strade, aeroporti, scuole, ospedali, ecc., non è nostro compito occuparcene qui.
Dunque, non ci rimane che occuparci della cultura, evitando la degradante gentiliana distinzione tra cultura umanistica e cultura scientifica.
Per approfondire l'argomento vi sono dei links:  (1),  (2),  (3),  (4),  (5),  (6),  (7), (8), (9), (10), (11). Se non ti bastano, vedi Storie di ordinaria follia.





Aggiunta:  Programma in forma di lettera (a Diego Fusaro)
A:  fusaro@filosofico.net, 14 novembre 2013 14:44 - fusarod@libero.it, 14 novembre 2013 14:51 -
(Nota - Qui vengono aggiunti dei links, che il testo originario della e.mail non aveva, allo scopo di precisare ciò che scrivo)

Oggetto: Complimenti.
Sono contento di vederla in TV, idee chiare, esposte con chiarezza, e molto vicine al mio pensiero e, soprattutto, al mio modo di essere (perché il pensiero non è che solo l'ombra della vita, parafrasando il primissimo Abbagnano del 1923).
Vorrei incoraggiarla come si potrebbe fare con un amico, perché c'è tanto di irrazionale nella nostra società occidentale (al tramonto, secondo Spengler, 1918-23) che si presenta più come una "folla" occidentale (Le Bon, 1895).
Ho letto "a spizzichi e bocconi" (e mi riprometto di farlo con migliore sistematicità) il suo "Essere senza tempo" 2010, che, mi sembra, sia un'analisi accorta del valore antropologico del tempo.

Dopo "Essere e tempo" (1927), ed il suo "Essere senza tempo", mi viene in mente, e non già per giocare sulle parole di un titolo ad effetto, un "Tempo senza essere", ovvero una riflessione sull'esistenza (come quella attuale, a torto o a ragione non importa) autenticamente intesa, e non già come un qualcosa cui è stato soppresso il metafisico. Una riflessione sulla "ordinarietà" della vita, quella che non contempli forme posticce di essere.

Proverei a spiegarle meglio e come meglio mi vengano le parole.
Se dico che sono ateo non è vero perché non mi riconosco nel privativo "senza qualcosa", "senza dio", come se si potesse dire "afono", poiché in quest'ultimo caso la natura ci ha fatto con l'udito incorporato nella nostra sensibilità, ma non anche con la divinità incorporata nella nostra sensibilità.
Quindi non posso dirmi ateo, dal momento che ho tutto quel che natura vuole. I credenti, se mai, hanno qualcosa in più di me, come i ricchi hanno qualcosa in più di me, con il quale però non sono nati, ma se lo sono aggiunto per opera propria (avrebbero potuto darsi una collezione di farfalle invece dei soldi, ad esempio) o perché la condizione sociale lo ha richiesto o consentito.
Cioè, a me non manca niente, e uso quelle poche facoltà che natura mi ha fornito (la ragione soprattutto e, questo si, un po’ metafisicamente, la curiosità per i tanti fenomeni ancora inspiegabili, soprattutto nelle scienze, da quelle biologiche e quelle fisico-matematiche), per godere delle tante bellezze dell'esistenza (e, a volte, anche delle immense sofferenze di cui ci troviamo a patire nel corso della vita - cosa a lei ancora non accaduta, spero, vista l'età).
Non troverei niente di meglio, quindi, che leggere qualcosa in merito a "Tempo senza essere", che le proporrei di scrivere, prima che le scippino l'idea.
Con ciò si darebbe una ragione esistenziale positiva ai tanti che come me hanno condotto la vita dopo l'infanzia, in cui si è succubi della cultura e delle credenze domestiche. Una ragione esistenziale fatta di positività, senza "patacche" aggiunte ad arte dai preti e imbonitori di turno.
Forse l'ha già fatto Abbagnano nel suo "La struttura dell'esistenza" del 1939 (che dovrei rileggere), ma servirebbe una rivisitazione in chiave attuale.
Forse il passo successivo potrebbe essere "Senza tempo", tout-court, nel senso dato da Cioran in "La caduta nel tempo", 1964.
Mi scuserà l'apparente saccenteria delle citazioni di cui sopra, ma sono indicate solo con lo scopo di capirci meglio intorno a concetti già espressi da altri.

Grazie per l'attenzione

La posizione del piano di proiezione nei metodi di rappresentazione

In un metodo di rappresentazione della geometria descrittiva la posizione del piano di proiezione è del tutto indifferente ai fini della rappresentazione di un oggetto qualsiasi. Tuttavia occorre tenere presente che la scelta di una certa posizione non è del tutto indifferente rispetto alla comprensibilità dell'oggetto da rappresentare, per cui la "scelta a piacere" necessita di precisazioni.

INTRODUZIONE
La rappresentazione è peculiare dell'essere umano che, quando opera e osserva la realtà spaziale, ha una postura particolare, e cioè quella eretta, ovvero la visione avviene stando in piedi ed è fatta con la prevalente direzione orizzontale. Questa circostanza consiglia che il piano di proiezione pigreco sia posto con giacitura verticale e, pertanto, il mezzo più appropriato per materializzarlo non è il foglio da disegno, che generalmente viene appoggiato ad un tavolo (piano orizzontale), ma è la lavagna (piano verticale) dove il docente traccia le costruzioni geometriche. Ovviamente sia operando sul foglio da disegno, sia operando alla lavagna, i risultati non cambiano (a parte le dimensioni delle figure), come pure non cambiano se tale piano di proiezione venisse inclinato in modo diverso come, ad esempio, su un tavolo da disegno basculante (indifferenza del sistema di riferimento rispetto allo spazio).
La questione, lungi dall'essere speciosa, ha una motivazione essenzialmente storica poiché nasce nel Rinascimento essenzialmente ad opera di pittori che operano su piani verticali (muri, tele e pale), anche se in seguito le esigenze  di carattere pratico, come le costruzioni edilizie e il disegno di oggetti d'uso e di macchine nel periodo della rivoluzione industriale, o la cartografia del territorio, oppure il disegno di oggetti più moderni come lo scafo della nave o la carrozzeria delle automobili porteranno all'uso anche di proiezioni su piani orizzontali (la pianta dell'oggetto) e anche inclinati diversamente.
Poiché gli argomenti di questo sito web sono destinati a studenti che devono apprendere una disciplina poco frequentata, specie oggi che le immagini possono ottenersi con il software informatico pur senza sapere niente di geometria descrittiva, allora ho scelto di evitare virtuosismi grafici inutili, attenendomi, fin quando possibile e senza forzature, ad una rappresentazione su piano verticale (salvo le piante, ovviamente).
Poiché queste circostanze non vengono mai esaminate nei testi didattici, si assiste a rappresentazioni indifferenti a tale criterio, potendo trovarsi rappresentazioni del metodo delle proiezioni centrali, che poi serve essenzialmente alla prospettiva, ad esempio, sia operando su piano verticale che su quello orizzontale (specialmente nei testi delle facoltà di matematica), e ciò porta a disorientamento nell'allievo, specie quando voglia integrare lo studio con testi diversi da quelli consigliati dal docente.
Se l'indifferenza del piano di rappresentazione può rappresentare una buona palestra per gli allievi più dotati, ciò è certamente fonte di difficoltà e frustrazione per quelli che lo sono di meno e, a volte, si assiste anche ad una vera e propria disaffezione, con frequenti abbandoni già prima di averne apprezzato le soddisfazioni della disciplina.

PROIEZIONI ORTOGONALI (mongiane)
Nelle proiezioni ortogonali mongiane potremmo considerare tale piano di proiezione alternativamente o verticale (come generalmente operiamo quando si disegna su una lavagna scolastica) oppure orizzontale (come avviene quando si disegna su un foglio appoggiato su di un tavolo).
Pur essendo del tutto indifferente, raggiungeremo una migliore comprensione dell'oggetto rappresentato se disponiamo il foglio da disegno parallelamente alla faccia dell'oggetto che stiamo considerando: se, ad esempio, stiamo guardando il prospetto di un fabbricato, o la parete di un mobile, verrà più spontaneo disporre il foglio verticalmente, mentre se dobbiamo renderci conto della pianta di un appartamento verrà più naturale disporre il foglio orizzontalmente.
PROIEZIONI CENTRALI (e prospettiva)
Nella prospettiva appare più proficua, ai fini della migliore comprensione dell'oggetto rappresentato, disporre il foglio da disegno verticalmente in quanto la postura del nostro corpo è generalmente eretta, cioè verticale, e la direzione prevalente dello sguardo è, di conseguenza, orizzontale.
Nelle proiezioni centrali, che sono la base teorica della prospettiva, la disposizione del piano di proiezione appare del tutto indifferente ma si potrà raggiungere una migliore comprensione dell'oggetto rappresentato (o da rappresentare) se disponiamo il foglio da disegno e, dunque, il quadro pigreco con la stessa giacitura dell'oggetto: se, per esempio, devo rappresentare la prospettiva di un ambiente, la posizione più efficace del piano di proiezione è quella verticale atteso che le persone, quando lavorano, hanno postura eretta, mentre se devo rappresentare la visione dall'alto di un oggetto o di un ambiente urbano la disposizione migliore per il quadro appare quella orizzontale, come quando si è in volo, su un aereo o su un deltaplano, per cui guardiamo generalmente in direzione verticale verso il basso.
Poiché la teoria delle proiezioni centrali, specie all'inizio dello studio quando si affrontano problemi di appartenenza, di parallelismo e di ortogonalità, senza finalizzarli alla rappresentazione di un oggetto concreto, può rappresentare una certa difficoltà visiva, e poiché successivamente tali nozioni verranno prevalentemente impiegate nell'esecuzione di disegni prospettici, allora preferiamo assumere anche per questo studio teorico la disposizione verticale del piano di proiezione. Disposizione verticale che manterremo anche nello studio di quanto connesso a tale teoria come, ad esempio, le coniche.
PROIEZIONI ASSONOMETRICHE
Poiché l'assonometria può essere sia ortogonale che obliqua, in questo caso disporremo il piano di proiezione conformemente a quanto richiesto in quella particolare assonometria.
PROIEZIONI QUOTATE
Le proiezioni quotate sono impiegate con buon profitto visivo nella rappresentazione dall'alto della forma del terreno (isoipse, cioè linee che hanno la medesima quota da un piano orizzontale, chiamate anche curve di livello) e, pertanto, in questo caso disporremo il piano di proiezione orizzontalmente, mentre se impieghiamo il metodo per rappresentare la parete laterale di un'automobile o di una imbarcazione disporremo il quadro verticalmente.

Corrispondenza e relazione tra due insiemi

Dati due insiemi, si possono stabilire più tipi di corrispondenza e relazioni tra di essi o, meglio, tra gli elementi del primo insieme e quelli del secondo insieme.
Vi possono essere due classificazioni: quella relativa all'algebra degli insiemi (che in questa sede scarteremo perché ha poca efficacia visiva) e quella degli insiemi di coppie che, utilizzando il diagramma di Eulero-Wenn, fornisce anche una rappresentazione visiva.
Classificazione delle relazioni tra due insiemi in base all'insieme delle coppie
...... In attesa di completare il post, vedi anche un post precedente.

Esempi di gruppi in Aritmetica

Richiamo - Un insieme di elementi, ed una operazione binaria, è un gruppo se soddisfa gli assiomi dei gruppi (cioè quello dell'associatività, quello dell'identità e quello dell'opposto). Pertanto, attribuire la caratteristica di gruppo significa verificare se sono soddisfatti i tre assiomi dei gruppi.

Riepilogo della nomenclatura
- Gruppo: G -
- Insieme di elementi: U -
- Elementi: u -
- Operazione binaria: r -
- Elemento identità: I -
- Elemento inverso dell'elemento u: inv.u -

Esempio 1
Ipotesi su quello che per il momento chiameremmo Gruppo A - Se prendiamo
Insieme degli elementi U: tutti gli interi (positivi, negativi e zero), indicati con u;
Operazione binaria r: addizione;
siamo in presenza di un gruppo?
Procediamo.
Verifica dell'assioma dell'associatività: l'addizione tra numeri interi è facilmente verificabile che è associativa.
Verifica dell'assioma dell'identità: notiamo che l'insieme degli elementi U contiene anche lo zero che, per l'operazione di addizione, costituisce l'elemento identità (I).
Infatti per ogni elemento u dell'insieme si ha: u + 0 = 0 + u = u, cioè l'operazione fa rimanere invariato l'elemento u di partenza.
Verifica dell'assioma dell'inverso: dalla verifica dell'assioma precedente abbiamo visto che l'elemento identità è lo 0. Se l'elemento u è un numero intero, il suo inverso inv.u, relativamente all'operazione di addizione, sarà quell'elemento dell'insieme che, mediante l'operazione di addizione, porta all'elemento identità, cioè allo 0.
In questo caso si tratta dell'elemento -u (che abbiamo detto appartenere all'insieme in quanto sono compresi anche i numeri negativi), infatti verifichiamo che u + (-u) = (-u) + u = 0, e con un esempio numerico prendendo u=5 si ha inv.u=-5, quindi: 5 + (-5) = (-5) + 5 = 0.
Conclusione
La verifica dei tre assiomi ha dimostrato che il Gruppo A è effettivamente un gruppo che possiamo chiamare "addizione tra numeri interi".

Esempio 2
Ipotesi su quello che per il momento chiameremmo Gruppo B - Se prendiamo
Insieme degli elementi U: tutti gli interi (positivi, negativi e zero), indicati con u;
Operazione binaria r: moltiplicazione;
siamo in presenza di un gruppo?
Procediamo.
Verifica dell'assioma dell'associatività: la moltiplicazione tra numeri interi è facilmente verificabile che è associativa, in quanto fornisce numeri u anch'essi interi e, quindi, appartenenti all'insieme U come definito sopra.
Verifica dell'assioma dell'identità: ... (si lascia la verifica al lettore).
Verifica dell'assioma dell'inverso: ... (si lascia la verifica al lettore).
Conclusione:
... (si lascia la conclusione al lettore).

Osservazione - Occorre distinguere sull'uso della parola "inverso". In aritmetica è anche sinonimo di "reciproco" ed è usato in senso specifico nella moltiplicazione, p. es. il numero 3 e il numero 1/3 sono reciproci poichè la loro moltiplicazione fornisce 1.
Nell'ambito della Teoria dei gruppi, invece, ha un senso più ampio, e significa un elemento inv.u che, con un altro elemento u, assoggettati entrambi ad una operazione r, produce l'elemento identità I che, a sua volta, assoggettato alla medesima operazione r è in grado di fornire come risultato l'elemento di partenza u cioè, con notazione sintetica, (inv.u r u) r u = u cioè I r u = u.
Se prendiamo l'insieme dei numeri razionali abbiamo due risultati diversi a seconda che l'operazione r del gruppo sia l'addizione o la moltiplicazione.
Ad esempio, con l'addizione si ha: (inv.5 + 5) + 5 = 5, cioè (-5 + 5) + 5 = 5, quindi, inv.5 = -5 (infatti I = 0);
mentre con la moltiplicazione si ha: (inv.5 x 5) x 5 = 5, cioè (1/5 x 5) x 5 = 5, quindi, inv.5 = 1/5 (infatti I = 1).
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Nota - Gli esempi sono stati tratti da: Grossman Israel e Magnus Wilhelm, I gruppi e i loro grafi, Zanichelli 1969, pag. 24 (edizione originale inglese: 1964).
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Concetto di "continuo" o "continuità"

Riprendo da un blog su web (http://www.nazioneindiana.com/).
(...)
Mi andrebbe di parlare ancora un po’ del continuo, questo mistero misterioso. Ma a te al liceo non hanno menzionato una volta una cosa assolutamente incomprensibile che si chiamava ‘postulato di continuità della retta’? Una bizzarria da fuori di testa, sembrava. E infatti, io l’ho capita solo molto dopo.
A me il continuo evoca la marmellata, non quella con tutti i toccotti di frutta dentro (che tra l’altro molto preferisco), ma quella gelatinosa che sembra appunto completamente omogenea. Omogenea. Continuo deriva da cum-tineo, che si tiene assieme, una pappa nella quale non si può distinguere nessuna spaccatura, nessun confine, dato un punto non si può dire qual è il punto che viene subito dopo, perché appena ne dici uno, ce n’è un’altro più vicino ancora, eccetera.
Adesso uno può dire che lo sappiamo ormai da un secolo (per non parlare di Democrito e seguaci) che la materia ha una struttura atomica, è fatta di piccoli puntini di materia e di enormi vuoti tra essi, e quindi niente intuizioni marmellatose; ma l’intuizione che tutti quanti abbiamo si forma nei primi anni di vita su esperienze elementari e, siccome la nostra vista non è sensibile agli atomi, di fronte e una bella superficie, tipo di vetro o di ossidiana, o tipo la setosa superficie di una tazza di tè verde ben ossigenato, vediamo una bel ché compatto e omogeneo, senza buchi. E pertanto pretenderemmo che così veramente fosse, veramente, anche nel piccolo, e comunque ci formiamo l’idea del continuo, del senza buchi, neanche piccoli piccoli.
La matematica è arrivata bel bello a saziare questa sete di continuità e, nell’ultimo quarto dell’Ottocento, ha offerto (è stato soprattutto Richard Dedekind, 1872, a formulare l'assioma della continuità) una maniera di dire che cos’è il continuo, dopodiché ha proposto di dichiarare (ecco qui il summenzionato ‘postulato di continuità della retta’) che la retta è, appunto continua, cioè ha la stessa struttura di quella che la matematica aveva inventato per far posto, nell’insieme dei numeri, a tutti i numeri, anche quelli che non sappiamo bene cosa siano.
Ad esempio, il simbolo che tradizionalmente indica la radice quadrata di due [radice di due non è rappresentabile nel testo del blog, me ne scuso. Dario Voltolini]: simbolo e parole che vogliono dire cosa, esattamente? Nessun numero decimale finito, e neanche periodico, elevato al quadrato fa esattamente 2. I matematici la hanno fatta esistere (e come la radice di due una quantità di altri innumerevoli numeri decimali non periodici) con la forza bruta, cioè con una decisione della ragione, con un atto creativo. E questo fa parte naturalmente dell’esigenza di non lasciare buchi nell’insieme dei numeri. L’orrore del buco, dell’interruzione, come l’orrore del vuoto.
Insomma, il problema è che per dire dove sta un atomo del nostro gas, devo dire le sue coordinate, e, fino a convenzione contraria, ho a disposizione una spaventosa infinità di numeri per rappresentare le sue coordinate. Quant’è la sua coordinata (mettiamo la sua distanza dalla parete A)? E’ forse cm 5,25 oppure 5,255 , o 5,2552340994 , o quale altro numero è? Di misurarla con infinita precisione, ovviamente non c’è neanche da pensarlo vagamente, ma se ritengo che, almeno in linea di principio, essa sia un numero reale ben fissato, allora ce ne sono infinitamente tanti tanti, perché di numeri reali ce ne sono realmente tanti tanti.
(...)

Concetto di "corrispondenza biunivoca"

Una trasformazione si dice univoca quando da un elemento appartenente ad una classe si può trovare uno ed un solo elemento corrispondente nella seconda classe.
Ad esempio: nella classe dei "figli", ad ogni determinato ragazzo si può far corrispondere un determinato papà nella classe dei "padri", mentre non vale il contrario.

La trasformazione si dice biunivoca quando ad ogni elemento della prima classe corrisponde uno ed un solo elemento della seconda classe e viceversa.
Ad esempio: conoscendo un elemento appartenente alla classe dei "mariti" si può trovare il corrispondente elemento nella classe delle "mogli" e, viceversa, se si conosce la moglie si può risalire al marito di quella signora (sempre che si stia parlando di una società monogama).

La trasformazione di cui all'inizio, invece, non è biunivoca, in quanto, preso un elemento della seconda classe, quella dei "padri" potrebbe non corrispondere un solo elemento nella classe dei "figli", ma più di uno, per il fatto che potrebbero esserci dei fratelli, figli dello stesso padre. Infatti se si dice ad un ragazzo "tuo padre è andato al mare" non sorgono dubbi, mentre se si dice ad un padre che ha quattro figli "tuo figlio è andato al mare", quel povero padre non sa verso chi rivolgere la sua attenzione.

Nel considerare le caratteristiche delle figure e le loro trasformazioni nel piano ci si è accorti che ad un punto ben definito della figura iniziale corrisponde, dopo una ben definita trasformazione, un punto altrettanto ben definito della figura trasformata e, viceversa, se considero un punto della figura finale posso sempre risalire al punto iniziale.
Questa corrispondenza vale anche per punti che non si trovano sulla figura ma che si trovano all'esterno di essa. Così, se prendo un punto sul piano, ad esempio, distante cm 5 in una certa posizione esterna al perimetro della figura, dopo la trasformazione troverò il suo corrispondente. Questa considerazione, ovviamente, posso applicarla a tutti i punti del piano e, mediante una certa trasformazione, posso individuare i punti che corrispondono a quelli.
Sul piano si viene a stabilire, quindi, una corrispondenza tra punti che ha come "legge" una ben definita trasformazione: ad esempio, posso mettere in corrispondenza tutti i punti del piano (chiamandoli punti appartenenti alla classe A) con quelli che distano da essi di cm 5 in direzione da nord verso sud, (chiamandoli punti appartenenti alla classe B), e ciò anche se materialmente non disegno una figura su quel piano. Ma posso anche eseguire la trasformazione inversa: basta che ad ogni punto faccio corrispondere un punto che si trovi a cm 5 di distanza nella direzione da sud a nord.
Questa circostanza, che posso eseguire trasformazioni in un verso e anche nel verso opposto ritrovando i punti iniziali, e solo quelli, si esprime dicendo che sul piano ho stabilito una corrispondenza biunivoca: nell'esempio essa consiste nella "traslazione dei punti di un piano di cm 5 in direzione da nord a sud".
In pratica, è come se su un tavolo ponessi due fogli: su un foglio (che chiamo classe A) disegno una figura blu che ricalco sul foglio sovrapposto con penna rossa (che chiamo classe B), poi sposto il secondo foglio nel modo dovuto. Se il secondo foglio fosse trasparente, allora non mi accorgerei di avere due fogli distinti, e potrei considerare ciò che vedo come disegnato su un unico foglio, cioè come se sullo stesso piano ci fosse la figura di classe A e la figura di classe B.
Ovviamente, il concetto di corrispondenza biunivoca non vale solo per la traslazione ma vale anche per le altre trasformazioni come la rotazione, la similitudine, l'affinità, ecc..
Per quanto riguarda l'identità il discorso è analogo, solo che i punti della figura iniziale e quelli della figura trasformata coincidono: è quanto accade, ad esempio, quando, una volta fatto un disegno a matita, ci proponiamo di ripassarlo a penna, disegnando due figure esattamente sovrapposte.
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Due precisazioni sulle trasformazioni geometriche

Precisazione 1, sulla differenza tra pensiero geometrico e disegno geometrico

Occorre precisare che il significato linguistico della parola "trasformazione" non è adeguata nell’ambito della geometria, dove per figura geometrica si intendono due circostanze:
a) da una parte per figura geometrica si intende un insieme di enti geometrici comunque disposti come, ad esempio, un quadrato su un piano, oppure una piramide nello spazio, ecc., secondo come noi li concepiamo con il pensiero, per cui i suoi elementi hanno caratteristiche ideali. Ad esempio, il lato di un quadrato, pur avendo una lunghezza determinata, non ha spessore essendo costituito da una parte di retta detta segmento, e così il vertice della piramide non è un volume in forma di pallino per quanto piccolo ma, essendo un punto, non ha dimensione alcuna.
b) dall’altra parte per figura geometrica si intende quella che noi disegniamo su un foglio da disegno per aiutarci visivamente e, questa, in base a quanto detto sopra, non può essere accurata più di tanto, nonostante l’attenzione che potremmo prestare nell’esecuzione del disegno.
Carlo Felice Manara ripeteva spesso nelle sue lezioni che “la geometria è l’arte di ragionare bene sulle figure sbagliate” volendo significare che la figura che tracciamo su un foglio non può che essere approssimativa e che deve servirci solo per aiutare il pensiero con lo sguardo.

Precisazione 2, sulla assenza del tempo come fattore nella geometria

Nel concepire con il pensiero una figura, non necessariamente le sue parti hanno una successione temporale, poiché potremmo pensare che esista da sempre sul piano del foglio, anche se non evidenziata mediante un disegno; al contrario, nel disegnare quella figura effettivamente, dobbiamo per forza eseguire alcuni passaggi in successione temporale.
Questo fatto di eseguire il disegno per fasi può trarre in inganno, facendo pensare, ad esempio nel caso delle trasformazioni che ci accingiamo a trattare, che esista un prima e un dopo, cioè che prima abbiamo una figura, poniamo un quadrato, la quale viene poi trasformata in un trapezio mediante delle fasi operative, un pò come accade nell’eseguire una prospettiva, in cui partendo da figure come la pianta e l’alzato di un solido poi si ottiene una figura di forma generalmente divesa.
Nella geometria occorre considerare che il piano o lo spazio contengono già tutti gli enti, come punti, rette e piani, in numero infinito, anche se materialmente non sono stati evidenziati.
In altre parole, nella geometria non esiste un prima e un dopo, rispetto ad una trasformazione ad esempio, ma le due figure, quella prima della trasformazione e quella ottenuta a seguito della trasformazione, sono già presenti nello spazio anche se non sono state evidenziate con un disegno o con un modellino che, tuttavia, faremo ugualmente per la sola comodità che questo comporta nell’eseguire un ragionamento o una dimostrazione.
Il fattore tempo, invece, è tipico della fisica, scienza che si occupa di corpi reali, e delle loro reali trasformazioni nel tempo e nello spazio, a causa di qualche agente che produce effetti su quei corpi, come la caduta di una tegola da un tetto sulla strada a causa della forza di gravità, oppure la deformazione che subisce una passerella di legno appoggiata ai due estremi a causa del nostro passaggio.
Anche altre espressioni risultano poco appropriate come, ad esempio, "la retta passa per due punti": con la parola "passa" non si vuole intendere che prima la retta non c'era e adesso si, ma, per quanto detto sopra, si deve intendere che fissando due punti individuiamo una retta ben precisa, mentre se ne individuiamo uno solo allora le rette che passano per esso sono infinite.
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